Use o Teorema de Cauchy-Goursat para mostrar que as integrais abaixo são nulas (em todos os itens, \gamma é a circunferência de centro na origem e raio 1 orientada no sentido anti-horário):
\int_{\gamma} \frac{\operatorname{sen} z-e^{z^{2}}}{z^{2}+3} d z

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\int_{\gamma}\frac{\operatorname{sen}z - e^{z^2}}{z^2 + 3}\,dz = 0
onde \gamma é a circunferência |z|=1 orientada no sentido anti-horário.
O conteúdo envolvido é o Teorema de Cauchy-Goursat, que afirma que a integral de uma função analítica em uma região simplesmente conexa e sobre a fronteira dessa região é nula.

Passo 2

Definimos a função
f(z) = \frac{\operatorname{sen}z - e^{z^2}}{z^2 + 3}.
O numerador \operatorname{sen}z - e^{z^2} é uma combinação de funções inteiras (isto é, analíticas em \mathbb{C}).

Passo 3

Os possíveis pontos singulares de f vêm das raízes do denominador
z^2 + 3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad z = \pm i\sqrt{3}.
Como \bigl|\pm i\sqrt{3}\bigr| = \sqrt{3} > 1, esses pontos estão fora da circunferência |z|=1. Portanto, f é analítica em todo o disco interno \{z:|z|\le1\} e também sobre \gamma.

Passo 4

Pelo Teorema de Cauchy-Goursat, a integral de uma função analítica ao longo de uma curva fechada em região onde ela é analítica vale zero. Logo,
\int_{\gamma}f(z)\,dz = 0.

Resposta

0

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