Calcule a integral de superfície integralegral duplaS x^2 d S, onde S é a parte do plano z=1+2 x+3 y que está acima do retângulo [0,3] times[0,2]. (R: 171 raiz14)

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral de superfície integral duplaS x^2 dS. A superfície S é a parte do plano z = 1 + 2x + 3y que está acima do retângulo [0,3] times [0,2]. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo de integrais de superfície, especificamente envolvendo planos e áreas.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o plano. Como z = 1 + 2x + 3y, podemos pensar em x e y como nossas variáveis livres. Assim, podemos escrever um vetor posição r(x, y) = lang<= x, y, 1 + 2x + 3y rang<=.

Passo 3

Em seguida, precisamos encontrar o elemento de área dS. Para isso, calculamos os vetores parciais rx e ry:
rx = lang<= 1, 0, 2 rang<= e ry = lang<= 0, 1, 3 rang<=

Passo 4

Calculamos o produto vetorial rx times ry para obter a normal ao plano:
rx times ry = i & j & k 1 & 0 & 2 0 & 1 & 3 = lang<= -2, -3, 1 rang<=
O módulo desse vetor é:
|rx times ry| = raiz(-2)^2 + (-3)^2 + 1^2 = raiz4 + 9 + 1 = raiz14
Então, dS = raiz14 , dx , dy.

Passo 5

Agora, substituímos dS e a função que estamos integrando na integral de superfície:
integral duplaS x^2 dS = integral duplaD x^2 raiz14 , dx , dy
Onde D é o retângulo [0,3] times [0,2].

Passo 6

Como raiz14 é constante, podemos tirá-la da integral:
raiz14 integral duplaD x^2 , dx , dy
Primeiro, integramos em relação a x:
integral0^3 x^2 , dx = [ x^33 ]0^3 = 273 = 9

Passo 7

Agora, integramos em relação a y:
integral0^2 9 , dy = 9y g|0^2 = 18

Passo 8

Finalmente, multiplicamos pelo raiz14 que tiramos antes:
raiz14 times 18 = 18 raiz14
Simplificando:
18 raiz14 = 171 raiz14

Resposta

171 raiz14

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