1. Considere z=z(x, y) dada implicitamente pela equação \cos x y z=1+x^{2} y^{2}+z^{2}, determine \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y}.

Passo 1

O enunciado define z=z(x,y) de forma implícita pela equação
\cos\bigl(x\,y\,z\bigr)=1+x^{2}y^{2}+z^{2}.
O conteúdo aqui é diferenciação implícita de uma função de duas variáveis, usando a regra da cadeia para obter \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y}.

Passo 2

Calcule \displaystyle \frac{\partial}{\partial x} em cada lado de
\cos\bigl(xyz\bigr)=1+x^{2}y^{2}+z^{2}.
À esquerda, aplicando
\frac{\partial}{\partial x}\cos(U)=-\sin(U)\,\frac{\partial U}{\partial x},
com U=xyz, temos
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(\cos(xyz)\bigr) =-\sin(xyz)\,\frac{\partial}{\partial x}(xyz) =-\sin(xyz)\bigl(y\,z + x\,y\,z_x\bigr),
onde escrevemos z_x=\frac{\partial z}{\partial x}.
À direita,
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(1+x^{2}y^{2}+z^{2}\bigr) =2x\,y^{2}+2z\,z_x.

Passo 3

Igualando e coletando os termos que envolvem z_x:
-\sin(xyz)\,y\,z \;-\;\sin(xyz)\,x\,y\,z_x = 2x\,y^{2}+2z\,z_x.
Levam-se os termos com z_x para um lado:
-\sin(xyz)\,x\,y\,z_x \;-\;2z\,z_x = 2x\,y^{2} + \sin(xyz)\,y\,z.
Logo,
z_x\bigl(-x\,y\,\sin(xyz)-2z\bigr) =2x\,y^{2}+y\,z\,\sin(xyz),
e assim
z_x =\frac{2x\,y^{2}+y\,z\,\sin(xyz)}{-\,x\,y\,\sin(xyz)\;-\;2z}.

Passo 4

Agora calcule \displaystyle \frac{\partial}{\partial y} em
\cos(xyz)=1+x^{2}y^{2}+z^{2}.
À esquerda,
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(\cos(xyz)\bigr) =-\sin(xyz)\,\frac{\partial}{\partial y}(xyz) =-\sin(xyz)\bigl(x\,z + x\,y\,z_y\bigr),
com z_y=\frac{\partial z}{\partial y}.
À direita,
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(1+x^{2}y^{2}+z^{2}\bigr) =2x^{2}y+2z\,z_y.

Passo 5

Igualando e isolando z_y:
-\sin(xyz)\,x\,z \;-\;\sin(xyz)\,x\,y\,z_y = 2x^{2}y+2z\,z_y
-\sin(xyz)\,x\,y\,z_y \;-\;2z\,z_y = 2x^{2}y + x\,z\,\sin(xyz)
z_y\bigl(-x\,y\,\sin(xyz)-2z\bigr) =2x^{2}y + x\,z\,\sin(xyz)
z_y =\frac{2x^{2}y + x\,z\,\sin(xyz)}{-\,x\,y\,\sin(xyz)\;-\;2z}.

Resposta

\frac{\partial z}{\partial x} =\frac{2x\,y^{2}+y\,z\,\sin(xyz)}{-\,x\,y\,\sin(xyz)\;-\;2z}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} =\frac{2x^{2}y + x\,z\,\sin(xyz)}{-\,x\,y\,\sin(xyz)\;-\;2z}.

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