Encontre as derivadas parciais das seguintes funções:
g(x, y)=x e^x^2+y^2

Passo 1

Estamos com a função g(x,y)=x e^x^2+y^2. O conteúdo é derivadas parciais de funções de duas variáveis e vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia para resolver.

Passo 2

Para calcular partial gpartial x, tratamos y como constante. Aplicando a regra do produto em xcdot e^x^2+y^2, temos duas parcelas: derivada de x (que é 1) vezes e^x^2+y^2 e x vezes a derivada de e^x^2+y^2. Usando a regra da cadeia com u=x^2+y^2, a derivada de e^u é e^ucdot u', logo
partial gpartial x=1cdot e^x^2+y^2+xcdot e^x^2+y^2cdot(2x)=e^x^2+y^2+2x^2e^x^2+y^2=(1+2x^2)e^x^2+y^2

Passo 3

Para calcular partial gpartial y, tratamos x como constante e só a parte e^x^2+y^2 depende de y. De novo usamos a regra da cadeia com u=x^2+y^2, então
partial gpartial y=xcdot e^x^2+y^2cdot(2y)=2xy,e^x^2+y^2

Resposta

As derivadas parciais são
partial gpartial x=(1+2x^2)e^x^2+y^2, partial gpartial y=2xy,e^x^2+y^2

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