Use o Teorema do Confronto para calcular lim x 0^+ raiz[3]x 10^cos 2 x.

Passo 1

O enunciado pede o valor de
limxto0^+raiz[3]x,10^cos(2x),
usando o Teorema do Confronto (ou Squeeze Theorem). Vamos encontrar duas funções que “aprisionem” a função em questão e que tenham o mesmo limite quando xto0^+.

Passo 2

Sabemos que, para todo x,
-1 ;<=;cos(2x);<=;1
Como a função exponencial base 10 é crescente, ao elevarmos 10 a esses termos obtemos
10^-1 ;<=;10^cos(2x);<=;10^1 = 10

Passo 3

Para x>0 vale raiz[3]x>=0. Ao multiplicar a desigualdade anterior por raiz[3]x, surge
raiz[3]x,10^-1;<=;raiz[3]x,10^cos(2x);<=;raiz[3]x,10
Chamamos
f(x)=raiz[3]x,10^-1, g(x)=raiz[3]x,10^cos(2x), h(x)=raiz[3]x,10

Passo 4

Calculamos os limites das funções de “contorno” quando xto0^+:
limxto0^+f(x) =10^-1,limxto0^+raiz[3]x =10^-1cdot0 =0,
limxto0^+h(x) =10,limxto0^+raiz[3]x =10cdot0 =0

Passo 5

Pelo Teorema do Confronto, como
f(x)<= g(x)<= h(x)
e lim f(x)=lim h(x)=0, segue que
limxto0^+g(x)=0

Resposta

limx 0^+ raiz[3]x,10^cos(2x) = 0

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