Exercício 7. Seja
uma função diferenciável em um conjunto
aberto e convexo.
(i) Mostre que
é convexa se, e somente se,
(ii) Uma função
é dita monótona quando
, para todo
. Mostre que, em dimensão 1, a condição (2) é equivalente a ser
crescente.
(i) Mostre que
Passo 1
O enunciado trata de uma função diferenciável
, com
aberto e convexo, e pede:
- Mostrar que
- Em dimensão
, notar que essa condição para coincide com dizer que é crescente.
Para resolver, vamos usar (i) a condição de primeira ordem para convexidade de funções diferenciáveis, e (ii) o Teorema Fundamental do Cálculo aplicado à curva.
Passo 2
Suponha
convexa.
Então vale a condição de primeira ordem: para todo
Então vale a condição de primeira ordem: para todo
Somando as duas desigualdades obtém-se
ou seja
Passo 3
Suponha agora que
Defina
para
.
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo e regra da cadeia,
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo e regra da cadeia,
A hipótese diz que, se
,
logo
é não decrescente em
. Assim
Isto é exatamente a condição de primeira ordem para convexidade de
. Logo
é convexa.
Passo 4
Em dimensão
temos
e o produto escalar vira produto usual. A condição
passa a ser
Para
,
, a desigualdade diz
; para
, inverte-se mas dá o mesmo. Portanto ela é equivalente a dizer que
é não decrescente, isto é, crescente.
Resposta
(i) Demonstrou-se que
é convexa se, e somente se,
(ii) Em
essa condição para
equivale exatamente a
ser crescente.