Exercício 7. Seja f: U longrightarrow R uma função diferenciável em um conjunto U subseteq R^n aberto e convexo.
(i) Mostre que f é convexa se, e somente se,
lang<=nabla f(y)-nabla f(x), y-xrang<= >= 0 para todo x, y in R^n
(ii) Uma função F: U longrightarrow R^n é dita monótona quando lang<= F(x)-F(y), x-yrang<= >= 0, para todo x, y in R^n. Mostre que, em dimensão 1, a condição (2) é equivalente a ser f^prime crescente.

Passo 1

O enunciado trata de uma função diferenciável f:UsubseteqR^ntoR, com U aberto e convexo, e pede:
  1. Mostrar que
f convexa Long<=ftrightarrow lang<=nabla f(y)-nabla f(x),,y-xrang<=>= 0 forall x,yin U
  1. Em dimensão n=1, notar que essa condição para F=f' coincide com dizer que f' é crescente.
    Para resolver, vamos usar (i) a condição de primeira ordem para convexidade de funções diferenciáveis, e (ii) o Teorema Fundamental do Cálculo aplicado à curva tmapsto x+t(y-x).

Passo 2

Suponha f convexa.
Então vale a condição de primeira ordem: para todo x,yin U
f(y)>= f(x)+lang<=nabla f(x),,y-xrang<= e f(x)>= f(y)+lang<=nabla f(y),,x-yrang<=
Somando as duas desigualdades obtém-se
0 ;>=;lang<=nabla f(x),,y-xrang<= ;+;lang<=nabla f(y),,x-yrang<= ;=;-,lang<=nabla f(y)-nabla f(x),,y-xrang<=,
ou seja
lang<=nabla f(y)-nabla f(x),,y-xrang<=>=0

Passo 3

Suponha agora que
lang<=nabla f(y)-nabla f(x),,y-xrang<=>=0 forall x,yin U
Defina varphi(t)=fl(x+t(y-x)r) para tin[0,1].
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo e regra da cadeia,
varphi'(t) =llang<=nabla f(x+t(y-x)),,y-xrrang<=
A hipótese diz que, se s>t,
varphi'(s)-varphi'(t) =llang<=nabla f(x+s(y-x))-nabla f(x+t(y-x)),,y-xrrang<=>=0,
logo varphi' é não decrescente em [0,1]. Assim
f(y)-f(x) =varphi(1)-varphi(0) =integral0^1varphi'(t),dt >=integral0^1varphi'(0),dt =varphi'(0) =llang<=nabla f(x),,y-xrrang<=
Isto é exatamente a condição de primeira ordem para convexidade de f. Logo f é convexa.

Passo 4

Em dimensão n=1 temos nabla f=f' e o produto escalar vira produto usual. A condição
lang<=nabla f(y)-nabla f(x),,y-xrang<=>=0
passa a ser
l(f'(y)-f'(x)r),(y-x)>=0 forall x,y
Para y>x, y-x>0, a desigualdade diz f'(y)>= f'(x); para y<x, inverte-se mas dá o mesmo. Portanto ela é equivalente a dizer que f' é não decrescente, isto é, crescente.

Resposta

(i) Demonstrou-se que f é convexa se, e somente se,
lang<=nabla f(y)-nabla f(x),,y-xrang<=>=0 forall x,yin U
(ii) Em R essa condição para F=f' equivale exatamente a f' ser crescente.

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