Use o teorema do confronto para calcular:
\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \sqrt{x} \operatorname{sen}\left(\frac{1}{x}\right)

Passo 1

O enunciado pede o valor do seguinte limite quando x tende para 0 pela direita:
\lim_{x \to 0^{+}} \sqrt{x}\,\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{x}\right).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão contém o fator \sqrt{x} que envolve x positivo (porque x\to0^{+}).
  • Aparece \operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{x}\right), que é o seno de \frac{1}{x} e oscila entre -1 e 1.
  • Precisamos avaliar o comportamento do produto dessas duas partes quando x fica muito pequeno e positivo.

Passo 2

Lembrando uma desigualdade importante para o seno: para qualquer número real t vale
-1 \le \sin t \le 1.
Aqui usei o comando usual \sin (função seno). Em palavras: o seno de qualquer argumento nunca sai do intervalo [-1,1]. Essa propriedade é básica e vale para todo t\in\mathbb{R}.

Passo 3

Agora substituímos t por \dfrac{1}{x}. Como a desigualdade do seno vale para todo t, em particular vale para t=\dfrac{1}{x}. Assim, para todo x>0 temos
-1 \le \sin\!\left(\frac{1}{x}\right) \le 1.

Passo 4

Multiplicamos a desigualdade anterior por \sqrt{x}. Antes de multiplicar, é importante notar que para x\to0^{+} temos x>0, logo \sqrt{x} é não negativa e a multiplicação preserva as desigualdades. Multiplicando termo a termo obtemos, para todo x>0:
-\,\sqrt{x} \le \sqrt{x}\,\sin\!\left(\frac{1}{x}\right) \le \sqrt{x}.
Esta é exatamente uma situação de “apertamento”: a função desejada fica presa entre -\sqrt{x} e \sqrt{x}.

Passo 5

Agora avaliamos os limites das funções que aparecem nas bordas quando x\to0^{+}. Sabemos que
\lim_{x\to 0^{+}} \sqrt{x} = 0,
e portanto também
\lim_{x\to 0^{+}} \bigl(-\sqrt{x}\bigr) = 0.
(Razão: \sqrt{x} tende a 0 quando x tende a 0^{+}; multiplicar por -1 só muda o sinal.)

Passo 6

Aplicamos o Teorema do Confronto (Teorema do Aperto): se g(x)\le f(x)\le h(x) numa vizinhança de um ponto e \lim g(x)=\lim h(x)=L, então \lim f(x)=L. Aqui g(x)=-\sqrt{x}, f(x)=\sqrt{x}\sin\!\left(\dfrac{1}{x}\right) e h(x)=\sqrt{x}; ambos g e h tendem a 0 quando x\to0^{+}. Logo, pelo Teorema do Confronto,
\lim_{x\to 0^{+}} \sqrt{x}\,\sin\!\left(\frac{1}{x}\right) = 0.

Passo 7

Observação pedagógica rápida (para fixar): o que aconteceu aqui é que o fator oscilante \sin\!\left(\frac{1}{x}\right) fica limitado entre -1 e 1, enquanto \sqrt{x} vai para zero. O produto de algo que fica preso num intervalo limitado por algo que tende a zero é forçado a tender a zero. Um exemplo similar: \lim_{x\to0} x^2\sin\!\left(\frac{1}{x}\right)=0 (mesma ideia, com x^2 no lugar de \sqrt{x}).

Resposta

0

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