Use o teorema do confronto para calcular:
Passo 1
O enunciado pede o valor do seguinte limite quando
tende para
pela direita:
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A expressão contém o fator
que envolve positivo (porque ). - Aparece
, que é o seno de e oscila entre e . - Precisamos avaliar o comportamento do produto dessas duas partes quando
fica muito pequeno e positivo.
Passo 2
Lembrando uma desigualdade importante para o seno: para qualquer número real
vale
Aqui usei o comando usual
(função seno). Em palavras: o seno de qualquer argumento nunca sai do intervalo
. Essa propriedade é básica e vale para todo
.
Passo 3
Agora substituímos
por
. Como a desigualdade do seno vale para todo
, em particular vale para
. Assim, para todo
temos
Passo 4
Multiplicamos a desigualdade anterior por
. Antes de multiplicar, é importante notar que para
temos
, logo
é não negativa e a multiplicação preserva as desigualdades. Multiplicando termo a termo obtemos, para todo
:
Esta é exatamente uma situação de “apertamento”: a função desejada fica presa entre
e
.
Passo 5
Agora avaliamos os limites das funções que aparecem nas bordas quando
. Sabemos que
e portanto também
(Razão:
tende a
quando
tende a
; multiplicar por
só muda o sinal.)
Passo 6
Aplicamos o Teorema do Confronto (Teorema do Aperto): se
numa vizinhança de um ponto e
, então
. Aqui
,
e
; ambos
e
tendem a
quando
. Logo, pelo Teorema do Confronto,
Passo 7
Observação pedagógica rápida (para fixar): o que aconteceu aqui é que o fator oscilante
fica limitado entre
e
, enquanto
vai para zero. O produto de algo que fica preso num intervalo limitado por algo que tende a zero é forçado a tender a zero. Um exemplo similar:
(mesma ideia, com
no lugar de
).