Use o teorema do confronto para calcular:
\lim _{x \rightarrow 0} x^{3} \operatorname{sen}\left(\frac{1}{x^{2}}\right)

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite quando x tende a 0 da expressão
x^{3}\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{x^{2}}\right).
Informações dadas:
  • A variável de interesse é x e queremos \lim_{x\to 0} x^{3}\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{x^{2}}\right).
  • A função \operatorname{sen} é a função seno (oscila entre -1 e 1).
  • Note que a expressão está bem definida para todo x\neq0; no ponto x=0 a parte \operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{x^{2}}\right) não é avaliada, mas isso não impede estudar o limite quando x\to0.

Passo 2

Fato básico que vamos usar (é verdade para todo número real t):
-1 \le \operatorname{sen}(t) \le 1.
Aqui podemos tomar t=\dfrac{1}{x^{2}} (para x\neq0), então para todo x\neq0 vale
-1 \le \operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{x^{2}}\right) \le 1.

Passo 3

A partir da desigualdade acima, passemos para a expressão que interessa. Use a propriedade do valor absoluto: para todo a real tem -|a|\le a\le |a|. Em particular, multiplicando a desigualdade por |x^{3}| (que é não negativa) obtemos, para todo x\neq0,
\left|x^{3}\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{x^{2}}\right)\right| \le |x^{3}|\cdot 1 = |x^{3}|.
Isso nos dá a desigualdade em forma não-negativa, que é mais fácil de manipular:
-\;|x^{3}|\;\le\; x^{3}\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{x^{2}}\right)\;\le\; |x^{3}|.

Passo 4

Agora calcule o limite das funções que “encolhem” a nossa expressão por cima e por baixo. A função x\mapsto x^{3} é contínua, logo
\lim_{x\to 0} x^{3} = 0.
Como o valor absoluto é contínuo também, segue
\lim_{x\to 0} |x^{3}| = 0.
Portanto as duas funções que aparecem nas bordas da desigualdade do Passo 3 têm limite igual a 0 quando x\to0:
\lim_{x\to 0} \big(-|x^{3}|\big) = 0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to 0} |x^{3}| = 0.

Passo 5

Enunciado do Teorema do Confronto (Squeeze theorem), em palavras simples:
se para todo x próximo de a vale f(x)\le g(x)\le h(x) e \lim_{x\to a} f(x)=\lim_{x\to a} h(x)=L, então \lim_{x\to a} g(x)=L.
Aplicando ao nosso caso:
  • tome f(x)=-|x^{3}|, g(x)=x^{3}\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{x^{2}}\right) e h(x)=|x^{3}|;
  • verificamos em Passo 3 que f(x)\le g(x)\le h(x) para x\neq0;
  • em Passo 4 vimos que \lim_{x\to0} f(x)=\lim_{x\to0} h(x)=0.
Pelo Teorema do Confronto, conclui-se que
\lim_{x\to 0} x^{3}\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{x^{2}}\right)=0.

Passo 6

Dica prática para a prova (resumindo a ideia que acabou de ser usada): quando tiver um fator oscilante e limitado (como \operatorname{sen} ou \cos) multiplicando algo que tende a 0 (como x^n), normalmente dá para usar o valor absoluto e o Teorema do Confronto para mostrar que o produto tende a 0. Exemplos rápidos: \lim_{x\to0} x\operatorname{sen}(1/x)=0, \lim_{x\to0} x^{2}\cos(1/x)=0.

Resposta

0

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