Use o teorema do confronto para calcular:
\lim _{x \rightarrow 0} x \cos \left(\frac{1}{x^{2}}\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0} x\cos\!\left(\frac{1}{x^{2}}\right).
Informações dadas: a função é f(x)=x\cos\!\left(\dfrac{1}{x^{2}}\right) (definida para x\neq0) e queremos o limite quando x tende a 0. Não há mais dados numéricos.

Passo 2

Lembrete importante (fato trigonométrico simples): para todo número real t vale
-1 \le \cos t \le 1.
Isso é porque o cosseno oscila entre -1 e 1. Aqui vamos aplicar isso com t=\dfrac{1}{x^{2}}.

Passo 3

Multiplicando a desigualdade do cosseno por |x| (número não negativo), e usando a propriedade |ab|=|a||b|, obtemos a desigualdade em termos do valor absoluto:
|x\cos\!\left(\frac{1}{x^{2}}\right)| = |x|\,\big|\cos\!\left(\frac{1}{x^{2}}\right)\big| \le |x|\cdot 1 = |x|.
Explicação: \big|\cos(\cdot)\big|\le1 por causa do passo anterior, então o produto com |x| é no máximo |x|.

Passo 4

Da desigualdade em valor absoluto segue a desigualdade de chaves (porque para qualquer número real y tem-se -|y|\le y\le |y|). Aplicando com y=x\cos\!\left(\dfrac{1}{x^{2}}\right) obtemos
-|x| \le x\cos\!\left(\frac{1}{x^{2}}\right) \le |x|.
Ou seja, a função que queremos está “espremida” entre -|x| e |x|.

Passo 5

Calcule os limites das funções que estão nas extremidades:
\lim_{x\to 0} -|x| = 0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to 0} |x| = 0,
porque |x|\to 0 quando x\to0.

Passo 6

Enunciado do Teorema do Confronto (Squeeze Theorem), em palavras: se g(x)\le f(x)\le h(x) numa vizinhança de a (exceto possivelmente em a) e \lim_{x\to a} g(x)=\lim_{x\to a} h(x)=L, então \lim_{x\to a} f(x)=L.
Aqui aplicamos com g(x)=-|x|, f(x)=x\cos\!\left(\dfrac{1}{x^{2}}\right) e h(x)=|x|. Como ambos os limites das extremidades são 0, pelo Teorema do Confronto concluímos que
\lim_{x\to 0} x\cos\!\left(\frac{1}{x^{2}}\right)=0.

Resposta

0

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