Informações dadas: a função é f(x)=x\cos\!\left(\dfrac{1}{x^{2}}\right) (definida para x\neq0) e queremos o limite quando x tende a 0. Não há mais dados numéricos.
Passo 2
Lembrete importante (fato trigonométrico simples): para todo número real t vale
-1 \le \cos t \le 1.
Isso é porque o cosseno oscila entre -1 e 1. Aqui vamos aplicar isso com t=\dfrac{1}{x^{2}}.
Passo 3
Multiplicando a desigualdade do cosseno por |x| (número não negativo), e usando a propriedade |ab|=|a||b|, obtemos a desigualdade em termos do valor absoluto:
Explicação: \big|\cos(\cdot)\big|\le1 por causa do passo anterior, então o produto com |x| é no máximo |x|.
Passo 4
Da desigualdade em valor absoluto segue a desigualdade de chaves (porque para qualquer número real y tem-se -|y|\le y\le |y|). Aplicando com y=x\cos\!\left(\dfrac{1}{x^{2}}\right) obtemos
Enunciado do Teorema do Confronto (Squeeze Theorem), em palavras: se g(x)\le f(x)\le h(x) numa vizinhança de a (exceto possivelmente em a) e \lim_{x\to a} g(x)=\lim_{x\to a} h(x)=L, então \lim_{x\to a} f(x)=L.
Aqui aplicamos com g(x)=-|x|, f(x)=x\cos\!\left(\dfrac{1}{x^{2}}\right) e h(x)=|x|. Como ambos os limites das extremidades são 0, pelo Teorema do Confronto concluímos que