Use o teorema do confronto calcular o valor dos limites:
lim x 0 x^2 e^sen(1 / x)

Passo 1

O enunciado pede o valor de
limxto0x^2e^sin(1/x)
usando o Teorema do Confronto (ou Teorema do Sanduíche). Para isso, vamos precisar das propriedades de que sintheta está sempre entre -1 e 1 e que a função exponencial é crescente.

Passo 2

Como para todo real theta vale
-1 ;<=;sintheta;<=;1,
podemos substituir theta=1/x e obter
-1 ;<=;sin(1/x);<=;1
Como a exponencial é crescente, aplicando e^(cdot) em cada parte da desigualdade, vem
e^-1;<=;e^sin(1/x);<=;e^1

Passo 3

Multiplicando toda a desigualdade por x^2, que é não negativa, obtemos
x^2e;<=;x^2e^sin(1/x);<=;e,x^2

Passo 4

Agora avaliamos o limite das duas funções que “enc sandwich” a nossa:
limxto0x^2e=0 e limxto0e,x^2=0
Como ambas as funções-limite dão 0 e
x^2e<= x^2e^sin(1/x)<= e,x^2,
pelo Teorema do Confronto segue que
limxto0x^2e^sin(1/x)=0

Resposta

0

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