1. Uma matriz A é ortogonal se A cdot A^t=A^t cdot A=I, isto é, se A^-1=A^t. Verifique que a matriz A=(rrr19 & 89 & -49 49 & -49 & -79 89 & 19 & 49) é ortogonal.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 19 & 89 & -49[6pt] 49 & -49 & -79[6pt] 89 & 19 & 49
e pede para verificar que A é ortogonal, ou seja, que
A,A^t = I
Para isso, vamos usar o critério de ortogonalidade: as linhas (ou colunas) de A devem ser vetores ortonormais.]

Passo 2

Calculemos a transposta de A. Como a entrada (i,j) de A^t é a entrada (j,i) de A, obtemos
A^t = 19 & 49 & 89[6pt] 89 & -49 & 19[6pt] -49 & -79 & 49 ]

Passo 3

Verificamos que cada linha de A tem norma 1. Seja ri a i-ésima linha de A. Então
|r1|^2 =l(tfrac19r)^2+l(tfrac89r)^2+l(-tfrac49r)^2 =1+64+1681 =8181 =1,
|r2|^2 =l(tfrac49r)^2+l(-tfrac49r)^2+l(-tfrac79r)^2 =16+16+4981 =1,
|r3|^2 =l(tfrac89r)^2+l(tfrac19r)^2+l(tfrac49r)^2 =64+1+1681 =1

Passo 4

Verificamos que as linhas são mutuamente perpendiculares, isto é, seus produtos internos são zero.
r1cdotr2 =1cdot4 + 8cdot(-4) + (-4)cdot(-7)9cdot9 =4 -32 +2881 =0,
r1cdotr3 =1cdot8 + 8cdot1 + (-4)cdot481 =8 +8 -1681 =0,
r2cdotr3 =4cdot8 + (-4)cdot1 + (-7)cdot481 =32 -4 -2881 =0
Como as linhas de A formam um conjunto ortonormal, segue que
A,A^t = I

Resposta

A matriz A é ortogonal.

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