Utilize o Teorema de Deslocamento no Eixo s para encontrar a transformada de Laplace de:
e^4 t cosh (5 t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a transformada de Laplace de usando o Teorema de Deslocamento no Eixo . Isso envolve entender o que é a transformada de Laplace, o que significa deslocar no eixo , e como aplicar isso à função dada.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a transformada de Laplace. Ela é uma ferramenta matemática usada para transformar funções do tempo Lf(t)(s) = integral0^infty e^-s t f(t) , dt para o domínio da frequência . A transformada de Laplace de uma função é dada por:
No nosso caso, .

Passo 3

Agora, vamos entender o que é o Teorema de Deslocamento no Eixo Le^a t f(t)(s) = F(s - a) . Esse teorema diz que se você tem uma função cuja transformada de Laplace é , então a transformada de é . Em outras palavras:
Isso nos permite “deslocar” a função no eixo adicionando um expoente na função original.

Passo 4

Vamos identificar e na nossa função . Aqui, e . Portanto, precisamos encontrar a transformada de Laplace de .

Passo 5

A transformada de Laplace da função hiperbólica cosseno, Lcosh(b t)(s) = ss^2 - b^2 , é conhecida e dada por:
Lcosh(5 t)(s) = ss^2 - 25
No nosso caso, , então:

Passo 6

Aplicando o Teorema de Deslocamento, onde Le^4 t cosh(5 t)(s) = (s - 4)(s - 4)^2 - 25 , substituímos por na transformada de :

Passo 7

Agora, vamos simplificar a expressão no denominador:
(s - 4)^2 - 25 = s^2 - 8 s + 16 - 25 = s^2 - 8 s - 9
Portanto, a transformação fica:
s - 4s^2 - 8 s - 9

Resposta

A transformada de Laplace de Le^4 t cosh(5 t)(s) = s - 4s^2 - 8 s - 9 é:

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