Use o Teorema da Convergência Monótona para mostrar que a sequência 2^nn!n >= 1 é convergente.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a sequência an = 2^nn! é convergente usando o Teorema da Convergência Monótona. O conteúdo envolve sucessões reais, monotonicidade e limites. Vamos precisar verificar que a sequência é monotônica (decrescente) a partir de algum índice e que é limitada (inferiormente por zero).

Passo 2

Para estudar a monotonicidade, calculemos a razão an+1an:
an+1an = 2^n+1/(n+1)!2^n/n! = 2n+1
Para todo n>= 2 temos 2n+1<=1 (e estritamente menor para n>1), o que mostra que an+1<= an a partir de n=2. Portanto, (an) é decrescente a partir de n=2.

Passo 3

Note que para todo n temos 2^n>0 e n!>0, logo an=2^nn!>0. Assim a sequência é limitada inferiormente por zero.

Passo 4

Como a sequência é monotonicamente decrescente (a partir de n=2) e limitada inferiormente, o Teorema da Convergência Monótona garante que (an) converge.

Resposta

A sequência 2^nn! é monótona decrescente a partir de n=2 e limitada inferiormente por zero, logo pelo Teorema da Convergência Monótona ela converge (seu limite é 0).

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