Use o Teorema da Convergência Monótona para mostrar que a sequência
é convergente.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a sequência
é convergente usando o Teorema da Convergência Monótona. O conteúdo envolve sucessões reais, monotonicidade e limites. Vamos precisar verificar que a sequência é monotônica (decrescente) a partir de algum índice e que é limitada (inferiormente por zero).
Passo 2
Para estudar a monotonicidade, calculemos a razão
:
Para todo
temos
(e estritamente menor para
), o que mostra que
a partir de
. Portanto,
é decrescente a partir de
.
Passo 3
Note que para todo
temos
e
, logo
. Assim a sequência é limitada inferiormente por zero.
Passo 4
Como a sequência é monotonicamente decrescente (a partir de
) e limitada inferiormente, o Teorema da Convergência Monótona garante que
converge.
Resposta
A sequência
é monótona decrescente a partir de
e limitada inferiormente por zero, logo pelo Teorema da Convergência Monótona ela converge (seu limite é 0).