Considere uma sequência lateral esquerda
com transformada z
Usando a expressão em frações parciais, espresse
como uma soma de parcelas, em que cada parcela representa um polo da sua resposta no item anterior;
Passo 1
A questão pede para decompor em frações parciais a função
X(z)=\frac{2z^2}{(2z-1)(z-1)}
do domínio z, de modo a isolar cada pólo (em z=1/2 e z=1). Vamos usar dois ingredientes: divisão polinomial para reduzir o grau do numerador e depois a técnica de frações parciais.
X(z)=\frac{2z^2}{(2z-1)(z-1)}
do domínio z, de modo a isolar cada pólo (em z=1/2 e z=1). Vamos usar dois ingredientes: divisão polinomial para reduzir o grau do numerador e depois a técnica de frações parciais.
Passo 2
Como o grau do numerador (2) é igual ao do denominador (2), fazemos a divisão polinomial:
Temos o denominador expandido D(z)=2z^2−3z+1. Dividindo o numerador N(z)=2z^2 por D(z):
Temos o denominador expandido D(z)=2z^2−3z+1. Dividindo o numerador N(z)=2z^2 por D(z):
- O quociente é 1, pois 2z^2 dividido por 2z^2 dá 1.
- O resto é R(z)=N(z)−1·D(z)=2z2−(2z2−3z+1)=3z−1.
Logo,
Passo 3
Agora decompondo o termo racional em duas frações simples:
Suponha
Suponha
Multiplicando em ambos os lados por (2z-1)(z-1) dá
3z−1 = A(z−1)+B(2z−1).
Isso gera um sistema para A e B, comparando coeficientes de z e termo constante:
A+2B=3 e −A−B=−1.
Resolvendo, obtemos B=2 e A=−1.
A+2B=3 e −A−B=−1.
Resolvendo, obtemos B=2 e A=−1.
Portanto,
Substituindo de volta em X(z), ficamos com a decomposição final.