Use o teorema da convolução para encontrar f(t).
L^{-1}(1/((s+1)(s-2))).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a transformada inversa de Laplace de usando o teorema da convolução. Isso está relacionado ao estudo das transformadas de Laplace e à maneira de combinar funções usando a convolução para encontrar a transformada inversa. Para resolver, vamos precisar conhecer as transformadas inversas das frações e e aplicar o teorema da convolução.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a expressão em duas partes que conhecemos a transformada inversa. Podemos escrever:
Aqui, identificamos duas funções no domínio de s que podemos transformar de volta para o domínio do tempo.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a transformada inversa de cada uma dessas funções separadamente.
Para , sabemos que:
E para , temos:
Portanto, identificamos e .

Passo 4

Segundo o teorema da convolução, a transformada inversa do produto de duas funções no domínio de Laplace é a convolução das transformadas inversas dessas funções no domínio do tempo. Ou seja:
Onde “*” representa a convolução.

Passo 5

A convolução de duas funções e é dada por:
Vamos aplicar isso às nossas funções:

Passo 6

Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 7

Calculando a integral:
Então:

Passo 8

Portanto, juntando tudo, a transformada inversa de Laplace é:

Resposta

A transformada inversa de Laplace é .

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