Use o teorema da convolução para encontrar
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a transformada inversa de Laplace de
usando o teorema da convolução. Isso está relacionado ao estudo das transformadas de Laplace e à maneira de combinar funções usando a convolução para encontrar a transformada inversa. Para resolver, vamos precisar conhecer as transformadas inversas das frações
e
e aplicar o teorema da convolução.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a expressão
em duas partes que conhecemos a transformada inversa. Podemos escrever:
Aqui, identificamos duas funções no domínio de
que podemos transformar de volta para o domínio do tempo.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a transformada inversa de cada uma dessas funções separadamente.
Para
, sabemos que:
E para
, temos:
Portanto, identificamos
e
.
Passo 4
Segundo o teorema da convolução, a transformada inversa do produto de duas funções no domínio de Laplace é a convolução das transformadas inversas dessas funções no domínio do tempo. Ou seja:
Onde “*” representa a convolução.
Passo 5
A convolução de duas funções
e
é dada por:
Vamos aplicar isso às nossas funções:
Passo 6
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 7
Calculando a integral:
Então:
Passo 8
Portanto, juntando tudo, a transformada inversa de Laplace é:
Resposta
A transformada inversa de Laplace é
.