1. Mostre que y = 1 / (x^2 - 1) é soluçãode y' + 2 x y^2 = 0 em I = (-1, 1) mas não o é em qualquer outro intervalo maior contendo I.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede. Precisamos mostrar que a função é uma solução da equação diferencial no intervalo . Além disso, devemos demonstrar que essa solução não é válida em nenhum outro intervalo maior que contenha . Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada de e verificar a veracidade da equação diferencial no intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de em relação a . Usamos a regra da derivada para funções racionais:

Passo 3

Agora, substituímos e na equação diferencial :

Passo 4

Simplificamos a expressão:
Isso confirma que a função satisfaz a equação diferencial no intervalo onde está definida.

Passo 5

Agora, vamos analisar o intervalo de validade da solução. A função tem o denominador , que se anula em e . Isso significa que a função não está definida nesses pontos, portanto, o intervalo onde é válida é .

Passo 6

Para intervalos maiores que , como por exemplo , a função não está definida em e . Assim, em qualquer intervalo que contenha esses pontos, a função não será uma solução válida da equação diferencial, já que não está definida em toda a extensão do intervalo.

Resposta

Portanto, é uma solução da equação diferencial no intervalo , mas não é válida em nenhum intervalo maior que contenha .

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