Use a transformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas. Quando apropriado, escreva f em termos de funções degrau unitário.
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Passo 1
Então, temos uma equação diferencial
y' + 4y = e^{-4t} com a condição inicial y(0) = 0. Vamos resolver isso usando a transformada de Laplace. Para isso, precisamos saber como aplicar a transformada de Laplace nas derivadas e nas funções exponenciais.Passo 2
Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que a transformada de
y'(t) é sY(s) - y(0), onde Y(s) é a transformada de y(t).Passo 3
Aplicando a transformada:
Substituindo:
Passo 4
Como
y(0) = 0, a equação fica:Fatorando
Y(s):Passo 5
Agora, isolamos
Y(s) dividindo ambos os lados por (s + 4):Passo 6
Para encontrar
y(t), aplicamos a transformada inversa de Laplace. Sabemos que:Onde
a = 4, então:Resposta
A solução da equação diferencial é: