(2) Verifique se y1(x) e y2(x) são soluçôes da equaçâo:
© y'' - (y')^3 + x y' = y, y1(x) = x - 1, y2(x) = ln(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício! A gente precisa verificar se as funções e são soluções da equação diferencial . Para isso, vamos precisar calcular as derivadas de primeira e segunda ordem dessas funções e substituir na equação para ver se ela é satisfeita.

Passo 2

Primeiro, vamos trabalhar com . Vamos calcular as derivadas:
A derivada de em relação a é:
Agora, a segunda derivada:

Passo 3

Agora que temos , e , vamos substituir na equação diferencial:
Substituindo:
Como ambos os lados são iguais, é uma solução da equação.

Passo 4

Agora vamos verificar .
Primeiro, calculamos as derivadas:
A primeira derivada de é:
A segunda derivada é:

Passo 5

Com essas derivadas, vamos substituir na equação diferencial:
Substituindo:
Simplificando:

Passo 6

Para verificar se a igualdade acima é verdadeira para todo , vamos testar um valor específico, por exemplo, :
Como a igualdade não se sustenta, não é uma solução da equação diferencial.

Resposta

A função é solução da equação diferencial dada, enquanto a função não é uma solução.

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