Use o teorema da divergência para calcular o fluxo Φ do campo \vec{F} através da superfície S fechada e orientada para fora
\vec{F}=2 x \vec{i}+2 y \vec{j}+2 z \vec{k} e S é a superfície do sólido limitado por x^{2}+y^{2}=a^{2}, z=0 e z=1.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo \Phi do campo \vec{F}=2x\,\vec{i}+2y\,\vec{j}+2z\,\vec{k}
através da superfície fechada S que envolve o cilindro de raio a entre z=0 e z=1.
Como S é fechada e orientada para fora, vamos usar o teorema da divergência, que diz
\Phi = \iint_{S}\vec{F}\cdot d\vec{S} = \iiint_{V} \nabla\!\cdot\!\vec{F}\,dV,
onde V é o volume limitado por S.

Passo 2

Calculamos a divergência de \vec{F}:
\nabla\!\cdot\!\vec{F} = \frac{\partial (2x)}{\partial x} + \frac{\partial (2y)}{\partial y} + \frac{\partial (2z)}{\partial z} = 2 + 2 + 2 = 6.

Passo 3

Agora fazemos a integral tripla em coordenadas cilíndricas (r,\theta,z), com 0\le r\le a, 0\le\theta\le2\pi, 0\le z\le1 e dV = r\,dr\,d\theta\,dz:
\Phi = \iiint_{V}6\,dV = \int_{z=0}^{1}\!\int_{\theta=0}^{2\pi}\!\int_{r=0}^{a}6\,r\,dr\,d\theta\,dz = 6\cdot\Bigl(\int_{0}^{1}dz\Bigr)\Bigl(\int_{0}^{2\pi}d\theta\Bigr)\Bigl(\int_{0}^{a}r\,dr\Bigr) = 6\cdot1\cdot2\pi\cdot\frac{a^{2}}{2} = 6\pi a^{2}.

Resposta

\displaystyle \Phi = 6\pi a^{2}.

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