Exercício 8. Determine se o campo \vec{F} é conservativo. Se for, encontre a função potencial \varphi.
\vec{F}=y z \vec{i}+x z \vec{j}+\left(x y+3 y^{2}\right) \vec{k}

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial \vec{F} = y z\,\vec{i} + x z\,\vec{j} + \bigl(xy + 3y^2\bigr)\,\vec{k}
e pede para verificar se ele é conservativo. Em caso afirmativo, encontrar uma função potencial \varphi.

Passo 2

Para que \vec{F}=(P,Q,R) seja conservativo num domínio simplesmente conexo, basta que o rotacional de \vec{F} seja nulo, isto é,
\nabla \times \vec{F} = \mathbf{0}.

Passo 3

Identificando
P = y z,\quad Q = x z,\quad R = x y + 3y^2,
calculamos as componentes do rotacional:
(\nabla\times\vec{F})_1 = \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z} = (x + 6y) - x = 6y,
(\nabla\times\vec{F})_2 = \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x} = y - y = 0,
(\nabla\times\vec{F})_3 = \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = z - z = 0.

Passo 4

Como \nabla\times\vec{F} = (6y,0,0)\neq\mathbf{0} em geral, o campo não é conservativo no domínio considerado.

Resposta

\vec{F} não é conservativo.

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