Use o teorema da divergência para calcular o fluxo Φ do campo \vec{F} através da superfície S fechada e orientada para fora
\vec{F}=(x-z) \vec{i}+(y-z) \vec{j}+(z-y) \vec{k} e S é a superfície do sólido limitado por z^{2}+y^{2}=a^{2}, z=0 e z=1.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo \Phi de \vec F=(x - z)\,\vec i + (y - z)\,\vec j + (z - y)\,\vec k através da superfície fechada S que envolve o sólido
D = \{(x,y,z)\mid x^2 + y^2 \le a^2,\\\ 0 \le z \le 1\},
orientada para fora. Vamos usar o Teorema da Divergência, que diz
\iint_{S}\vec F\cdot d\vec S \;=\;\iiint_{D}(\nabla\cdot\vec F)\,dV.

Passo 2

Calculamos a divergência de \vec F:
\nabla\cdot\vec F = \frac{\partial}{\partial x}(x - z) +\frac{\partial}{\partial y}(y - z) +\frac{\partial}{\partial z}(z - y) =1 + 1 + 1 = 3.

Passo 3

Como \nabla\cdot\vec F é constante, o fluxo será
\Phi = \iiint_{D}3\,dV = 3\;\bigl(\text{Volume de }D\bigr).
O volume de D é o de um cilindro de raio a e altura 1:
\text{Vol}(D) = \pi a^2 \times 1 = \pi a^2.

Passo 4

Substituindo em \Phi:
\Phi = 3 \times \pi a^2 = 3\pi a^2.

Resposta

\Phi = 3\pi a^2.

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