Use o Teorema da Divergência para calcular
, onde
é o a esfera sólida
e
é a fronteira (“casca”) de
. (Resposta:
)
Passo 1
Vamos calcular
onde
é a superfície da esfera
.
O conteúdo aqui é usar o Teorema da Divergência indiretamente para converter integrais de superfície de termos como em integrais de volume. Também vamos usar simetria para mostrar que os termos
e
se anulam.
O conteúdo aqui é usar o Teorema da Divergência indiretamente para converter integrais de superfície de termos como
Passo 2
Mostramos que
porque
e
são funções ímpares em relação aos planos
e
. A esfera é simétrica em torno de cada plano coordenado, logo as partes positivas cancelam as negativas, dando zero.
Passo 3
Agora fica só
Para calcular
usamos o Teorema da Divergência assim: definimos o campo vetorial
Na esfera de raio
, o vetor normal unitário é
. Então
e pelo Teorema da Divergência
Como
, segue