Use o Teorema da Divergência para calcular
\oiint_{\partial V}\left(x^{2}+y+z\right) d \vec{S}, onde
V é o a esfera sólida
x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 1 e
\partial V é a fronteira (“casca”) de
V. (Resposta:
4 \pi / 3 )

Passo 1

Vamos calcular
\iint_{\partial V}(x^{2}+y+z)\,dS
onde \partial V é a superfície da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=1.
O conteúdo aqui é usar o Teorema da Divergência indiretamente para converter integrais de superfície de termos como x^{2} em integrais de volume. Também vamos usar simetria para mostrar que os termos \displaystyle\int_{\partial V}y\,dS e \displaystyle\int_{\partial V}z\,dS se anulam.

Passo 2

Mostramos que
\iint_{\partial V}y\,dS=0,\qquad \iint_{\partial V}z\,dS=0
porque y e z são funções ímpares em relação aos planos y=0 e z=0. A esfera é simétrica em torno de cada plano coordenado, logo as partes positivas cancelam as negativas, dando zero.

Passo 3

Agora fica só
\iint_{\partial V}(x^{2}+y+z)\,dS \;=\;\iint_{\partial V}x^{2}\,dS.
Para calcular \displaystyle\iint_{\partial V}x^{2}\,dS usamos o Teorema da Divergência assim: definimos o campo vetorial
\mathbf{F}(x,y,z) = (\,x,\,0,\,0\,).
Na esfera de raio 1, o vetor normal unitário é \mathbf{n}=(x,y,z). Então
\mathbf{F}\cdot\mathbf{n} \;=\; x\cdot x \;=\; x^{2},
e pelo Teorema da Divergência
\iint_{\partial V}x^{2}\,dS =\iint_{\partial V}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS =\iiint_{V}\nabla\!\cdot\mathbf{F}\,dV.
Como \nabla\!\cdot\mathbf{F}=\partial_x(x)+\partial_y(0)+\partial_z(0)=1, segue
\iiint_{V}1\,dV =\text{Volume}(V) =\tfrac{4\pi}{3}\,.

Resposta

\displaystyle \frac{4\pi}{3}

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