Considere
. Seja
a esfera unitária definida por
.
Calcule o fluxo
para fora da esfera. (Resposta:
)
Nota: Tente calcular diretamente a integral de superfície
sem usar o Teorema de Gauss para se convencer de que é mais trabalhoso.
Nota: Tente calcular diretamente a integral de superfície
Passo 1
O enunciado pede o fluxo de
através da esfera unitária
, com orientação para fora. O conteúdo é integral de superfície de um campo vetorial, e para resolver sem usar o Teorema de Gauss vamos parametrizar
em coordenadas esféricas.
Passo 2
Usamos a parametrização
com
,
. Na esfera unitária, o vetor normal unitário é
e o elemento de área é
Logo,
Passo 3
O fluxo fica
Em coordenadas esféricas isso é
As parcelas com
e
integram zero em
ou em
por serem funções ímpares no intervalo simétrico. Sobra apenas
Separando as variáveis:
Portanto o fluxo vale