Considere
\vec{F}=2 x \vec{i}+y^{2} \vec{j}+z^{2} \vec{k}. Seja
S a esfera unitária definida por
x^{2}+y^{2}+z^{2}=1.
Calcule o fluxo
\oiint_{S} \vec{F} \cdot d \vec{S} para fora da esfera. (Resposta:
8 \pi / 3 )
Nota: Tente calcular diretamente a integral de superfície
\oiint_{S} \vec{F} \cdot d \vec{S} sem usar o Teorema de Gauss para se convencer de que é mais trabalhoso.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de \vec F=2x\,\vec i+y^2\,\vec j+z^2\,\vec k através da esfera unitária S\colon x^2+y^2+z^2=1, com orientação para fora. O conteúdo é integral de superfície de um campo vetorial, e para resolver sem usar o Teorema de Gauss vamos parametrizar S em coordenadas esféricas.

Passo 2

Usamos a parametrização
x=\sin\theta\cos\varphi,\quad y=\sin\theta\sin\varphi,\quad z=\cos\theta
com \theta\in[0,\pi], \varphi\in[0,2\pi]. Na esfera unitária, o vetor normal unitário é \hat n=(x,y,z) e o elemento de área é
dS=\sin\theta\,d\theta\,d\varphi.
Logo,
\vec F\cdot d\vec S=(\vec F\cdot\hat n)\,dS \quad\text{com}\quad \vec F\cdot\hat n=2x^2+y^3+z^3.

Passo 3

O fluxo fica
\iint_S\vec F\cdot d\vec S =\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{\pi}\bigl(2x^2+y^3+z^3\bigr)\sin\theta\,d\theta\,d\varphi.
Em coordenadas esféricas isso é
\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{\pi}\Bigl(2\sin^2\theta\cos^2\varphi+\sin^3\theta\sin^3\varphi+\cos^3\theta\Bigr)\sin\theta\,d\theta\,d\varphi.
As parcelas com \sin^3\varphi e \cos^3\theta integram zero em \varphi ou em \theta por serem funções ímpares no intervalo simétrico. Sobra apenas
2\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{\pi}\sin^3\theta\cos^2\varphi\,d\theta\,d\varphi.
Separando as variáveis:
\int_{0}^{2\pi}\cos^2\varphi\,d\varphi=\pi, \quad \int_{0}^{\pi}\sin^3\theta\,d\theta=\tfrac{4}{3}.
Portanto o fluxo vale
2\;\pi\;\frac{4}{3} = \frac{8\pi}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{8\pi}{3}

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