Use o Teorema da Divergência para calcular
em que o campo vetorial é
e a superfície S é limitada no primeiro octante pelos parabolóides
e
.
Assinale a alternativa correta.
a.
b.
c.
d.
Assinale a alternativa correta.
a.
b.
c.
d.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície
usando o Teorema da Divergência. O campo vetorial é
e a superfície
está no primeiro octante, limitada pelos parabolóides
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema da Divergência, calcular a divergência de
e configurar uma integral tripla.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele nos diz que a integral de superfície de um campo vetorial
sobre uma superfície fechada
é igual à integral tripla da divergência de
sobre o volume
limitado por
:
Então, nosso primeiro passo é calcular a divergência de
.
Passo 3
A divergência de um campo vetorial
é dada por:
Vamos calcular isso para o nosso
:
Então:
Passo 4
Agora, precisamos configurar a integral tripla
sobre o volume
delimitado pelos parabolóides no primeiro octante.
Como estamos no primeiro octante (
) e os parabolóides se cruzam quando
, é conveniente usar coordenadas cilíndricas para facilitar a integração.
Em coordenadas cilíndricas:
O elemento de volume é:
Passo 5
Vamos determinar os limites de integração:
-
varia de a (primeiro octante). -
varia de a (onde os parabolóides se cruzam). -
varia de (parabolóide inferior) a (parabolóide superior).
Então, a integral fica assim:
Passo 6
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a
:
Então, substituindo na integral:
Simplificando:
Passo 7
Vamos separar as integrais:
Calculando a integral interna:
Passo 8
Substituindo de volta:
Resolvendo a última integral:
Resposta
A resposta correta é b.
.