Use o Teorema da Divergência para calcular integral duplaS F d S em que o campo vetorial é F=z i+y x j+y k e a superfície S é limitada no primeiro octante pelos parabolóides z=x^2+y^2 e z=2-x^2-y^2.
Assinale a alternativa correta.
a. 421
b. 415
c. 215
d. 417

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície usando o Teorema da Divergência. O campo vetorial é e a superfície está no primeiro octante, limitada pelos parabolóides e . Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema da Divergência, calcular a divergência de e configurar uma integral tripla.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele nos diz que a integral de superfície de um campo vetorial integral duplaS F cdot dS = integral triplaV nabla cdot F, dV sobre uma superfície fechada é igual à integral tripla da divergência de sobre o volume limitado por :
Então, nosso primeiro passo é calcular a divergência de .

Passo 3

A divergência de um campo vetorial nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z é dada por:
Fx = z, Fy = yx, Fz = y
Vamos calcular isso para o nosso nabla cdot F = partial zpartial x + partial (yx)partial y + partial ypartial z = 0 + x + 0 = x :
Então:

Passo 4

Agora, precisamos configurar a integral tripla x = r costheta, y = r sintheta, z = z sobre o volume dV = r, dz, dr, dtheta delimitado pelos parabolóides no primeiro octante.
Como estamos no primeiro octante ( ) e os parabolóides se cruzam quando , é conveniente usar coordenadas cilíndricas para facilitar a integração.
Em coordenadas cilíndricas:
O elemento de volume é:

Passo 5

Vamos determinar os limites de integração:
  • integral triplaV x, dV = integral0^pi2 integral0^1 integralr^2^2 - r^2 (r costheta) cdot r, dz, dr, dtheta varia de a (primeiro octante).
  • varia de a (onde os parabolóides se cruzam).
  • varia de (parabolóide inferior) a (parabolóide superior).
Então, a integral fica assim:

Passo 6

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a integralr^2^2 - r^2 dz = (2 - r^2) - r^2 = 2 - 2r^2 :
integral0^pi2 integral0^1 (r costheta) cdot r cdot (2 - 2r^2), dr, dtheta
Então, substituindo na integral:
integral0^pi2 integral0^1 (2r^2costheta - 2r^4costheta), dr, dtheta
Simplificando:

Passo 7

Vamos separar as integrais:
integral0^pi2 costheta ( integral0^1 2r^2 - 2r^4, dr ) dtheta
Calculando a integral interna:
integral0^1 2r^2 - 2r^4, dr = 2[r^33]0^1 - 2[r^55]0^1 = 23 - 25 = 10 - 615 = 415

Passo 8

Substituindo de volta:
integral0^pi2 costheta cdot 415, dtheta = 415 integral0^pi2 costheta, dtheta
Resolvendo a última integral:
415 [ sintheta ]0^pi2 = 415 (1 - 0) = 415

Resposta

A resposta correta é b. .

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