Calcule integral duplaS F d S em que o campo vetorial é F=3 x i+3 y j+z k e a superfície S é dada pela equação vetorial r(u, v)=u i+v^2 j+u^2 k, 0 <= u <= 1 e 1 <= v <= 3.
Assinale a alternativa correta.
a. -175
b. -415
c. -203
d. -403

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada aqui é calcular a integral de superfície de um campo vetorial sobre a superfície descrita por , onde e . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de superfícies e produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como parametrizar a superfície r(u, v) = u v^2 u^2 . A equação vetorial dada já nos mostra que e são os parâmetros. Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de ru = partial rpartial u = 1 0 2u , rv = partial rpartial v = 0 2v 0 em relação a e :

Passo 4

Em seguida, encontramos o vetor normal à superfície usando o produto vetorial das derivadas parciais:
n = ru times rv = i & j & k 1 & 0 & 2u 0 & 2v & 0 = -4uv 0 2v

Passo 5

Agora, substituímos os parâmetros F = 3x, i + 3y, j + z, k = 3u, i + 3v^2, j + u^2, k e na expressão do campo vetorial :

Passo 6

Calculamos o produto escalar de F cdot n = (3u)(-4uv) + (3v^2)(0) + (u^2)(2v) = -12u^2v + 0 + 2u^2v = -10u^2v com o vetor normal :

Passo 7

Agora, montamos a integral dupla para calcular a integral de superfície:
integral duplaS F cdot dS = integral0^1 integral1^3 (-10u^2v) , dv , du

Passo 8

Vamos resolver a integral interna em relação a integral1^3 (-10u^2v) , dv = -10u^2 [ v^22 ]1^3 = -10u^2 ( 92 - 12 ) = -10u^2 cdot 4 = -40u^2 :

Passo 9

Agora, integramos o resultado em relação a integral0^1 (-40u^2) , du = -40 [ u^33 ]0^1 = -40 ( 13 - 0 ) = -403 :

Resposta

A integral de superfície vale .

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