Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha
onde
é frontera no sentido anti-horário da região entre as circunferências
,
, o eico
e o eixo y no primeiro quadrante.
Assinale a alternativa correta.
a.
b.
c.
d.
Assinale a alternativa correta.
a.
b.
c.
d.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. A integral que temos é
, onde
é o contorno no sentido anti-horário da região entre duas circunferências:
e
, juntamente com os eixos
e
no primeiro quadrante. Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Green e como aplicá-lo em integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Ele relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada
com uma integral de área sobre a região
delimitada por
. A fórmula básica do Teorema de Green é:
No nosso caso, temos
e
. Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.
Passo 3
Vamos calcular
e
:
Agora, substituindo na fórmula do Teorema de Green:
Passo 4
Então, a integral de linha original se transforma em uma integral dupla sobre a região
:
Agora, precisamos descrever a região
. Ela está no primeiro quadrante, entre as circunferências
e
. Para facilitar, vamos mudar para coordenadas polares, onde
e
.
Passo 5
Em coordenadas polares, o elemento de área
vira
. Além disso,
. Então, nossa integral dupla fica:
Agora, precisamos determinar os limites de integração. Para
, vai de 1 a 2 (raios das circunferências). Para
, como estamos no primeiro quadrante, vai de 0 a
.
Passo 6
Vamos escrever a integral com os limites:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 7
Vamos integrar em relação a
primeiro:
Calculando as integrais:
Então, a integral em
resulta em:
Passo 8
Agora, integramos em relação a
:
Calculando as integrais:
Resposta
Somando os resultados:
Portanto, a alternativa correta é:
d.