Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha integralC-y d x+4 x y d y onde C é frontera no sentido anti-horário da região entre as circunferências x^2+y^2=1, x^2+y^2=4, o eico x e o eixo y no primeiro quadrante.
Assinale a alternativa correta.
a. 3 pi2+283
b. pi4+283
c. 3 pi4-283
d. 3 pi4+283

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. A integral que temos é , onde é o contorno no sentido anti-horário da região entre duas circunferências: e , juntamente com os eixos e no primeiro quadrante. Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Green e como aplicá-lo em integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Ele relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada ointC (P , dx + Q , dy) = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dx , dy com uma integral de área sobre a região delimitada por . A fórmula básica do Teorema de Green é:
No nosso caso, temos e . Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.

Passo 3

Vamos calcular partial Qpartial x = partialpartial x (4xy) = 4y e partial Ppartial y = partialpartial y (-y) = -1 :
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 4y - (-1) = 4y + 1
Agora, substituindo na fórmula do Teorema de Green:

Passo 4

Então, a integral de linha original se transforma em uma integral dupla sobre a região integral duplaD (4y + 1) , dx , dy :
Agora, precisamos descrever a região . Ela está no primeiro quadrante, entre as circunferências e . Para facilitar, vamos mudar para coordenadas polares, onde e .

Passo 5

Em coordenadas polares, o elemento de área integral duplaD (4r sintheta + 1) cdot r , dr , dtheta vira . Além disso, . Então, nossa integral dupla fica:
Agora, precisamos determinar os limites de integração. Para , vai de 1 a 2 (raios das circunferências). Para , como estamos no primeiro quadrante, vai de 0 a .

Passo 6

Vamos escrever a integral com os limites:
integral0^pi2 integral1^2 (4r sintheta + 1) cdot r , dr , dtheta
Simplificando a expressão dentro da integral:
(4r sintheta + 1) cdot r = 4r^2 sintheta + r
Então, a integral fica:
integral0^pi2 integral1^2 (4r^2 sintheta + r) , dr , dtheta

Passo 7

Vamos integrar em relação a integral1^2 (4r^2 sintheta + r) , dr = 4 sintheta integral1^2 r^2 , dr + integral1^2 r , dr primeiro:
4 sintheta [ r^33 ]1^2 = 4 sintheta ( 83 - 13 ) = 4 sintheta cdot 73 = 283 sintheta
Calculando as integrais:
integral1^2 r , dr = [ r^22 ]1^2 = 42 - 12 = 32
283 sintheta + 32
Então, a integral em resulta em:

Passo 8

Agora, integramos em relação a integral0^pi2 ( 283 sintheta + 32 ) , dtheta = 283 integral0^pi2 sintheta , dtheta + 32 integral0^pi2 dtheta :
283 [ -costheta ]0^pi2 = 283 ( -0 + 1 ) = 283
Calculando as integrais:
32 [ theta ]0^pi2 = 32 cdot pi2 = 3pi4

Resposta

Somando os resultados:
283 + 3pi4 = 3pi4 + 283
Portanto, a alternativa correta é:
d.

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