Use o Teorema de Stokes para calcular integralC F. d r em que o campo vetorial é F=-x y i-y z j-z x k e a curva C é a borda da porção do plano x+y+z=2 no primeiro octante, percorrida no sentido anti-horário quando visto de cima.
Assinale a alternativa correta.
a. 4
b. 10
c. 8
d. 2

Passo 1

Tranquilo! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão envolve o Teorema de Stokes, que conecta a integral de linha ao redor de uma curva C com a integral de superfície sobre uma superfície S que tem C como fronteira. Aqui, temos um campo vetorial F = -x y i - y z j - z x k e a curva C é a borda da porção do plano x + y + z = 2 no primeiro octante, percorrida no sentido anti-horário visto de cima. Vamos precisar calcular o rotacional de F e parametrizar a superfície S para aplicar o Teorema de Stokes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Stokes. Ele diz que:
integralC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot dS
Isso significa que para calcular a integral de linha, podemos calcular a integral de superfície do rotacional de F.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de F, que é nabla times F. Para um campo vetorial F = P i + Q j + R k, o rotacional é dado por:
nabla times F = ( partial Rpartial y - partial Qpartial z ) i + ( partial Ppartial z - partial Rpartial x ) j + ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) k
No nosso caso:
  • P = -xy
  • Q = -yz
  • R = -zx
Calculando as derivadas:
  • partial Rpartial y = partial (-zx)partial y = 0
  • partial Qpartial z = partial (-yz)partial z = -y
  • partial Ppartial z = partial (-xy)partial z = 0
  • partial Rpartial x = partial (-zx)partial x = -z
  • partial Qpartial x = partial (-yz)partial x = 0
  • partial Ppartial y = partial (-xy)partial y = -x
Assim, o rotacional fica:
nabla times F = (0 - (-y)) i + (0 - (-z)) j + (0 - (-x)) k = y i + z j + x k

Passo 4

Agora, precisamos parametrizar a superfície S que está no plano x + y + z = 2 no primeiro octante. No primeiro octante, x, y, z >= 0. Podemos resolver para z:
z = 2 - x - y
Então, podemos usar x e y como parâmetros, onde x varia de 0 a 2 e, para cada x, y varia de 0 a 2 - x.

Passo 5

Vamos expressar o vetor normal à superfície. Para o plano x + y + z = 2, o vetor normal n é dado pelos coeficientes de x, y, z, ou seja, n = i + j + k. Como queremos a orientação anti-horária vista de cima, o vetor normal deve apontar para cima, então usamos n = i + j + k.
A diferencial de área é então:
Mas como o plano é inclinado, precisamos calcular dS = n|n| , dS = i + j + kraiz1^2 + 1^2 + 1^2 , dS = i + j + kraiz3 , dS em termos de dS e dx. Alternativamente, podemos usar a parametrização direta.

Passo 6

Vamos calcular a integral de superfície:
integral duplaS (nabla times F) cdot dS = integral duplaD (y i + z j + x k) cdot (i + j + k) , dx , dy
Multiplicando os vetores:
(y)(1) + (z)(1) + (x)(1) = y + z + x
Mas lembrando que z = 2 - x - y, então:
y + (2 - x - y) + x = 2
Então a integral fica:
integral duplaD 2 , dx , dy = 2 times Área de D Á
A região D é o triângulo no primeiro octante limitado por x + y <= 2, então a área é:
Área = 12 times 2 times 2 = 2 Á
Portanto:
2 times 2 = 4

Resposta

A alternativa correta é a a. 4.

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