Use o Teorema de Stokes para calcular
.
em que o campo vetorial é
e a curva
é a borda da porção do plano
no primeiro octante, percorrida no sentido anti-horário quando visto de cima.
Assinale a alternativa correta.
a. 4
b. 10
c. 8
d. 2
Assinale a alternativa correta.
a. 4
b. 10
c. 8
d. 2
Passo 1
Tranquilo! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão envolve o Teorema de Stokes, que conecta a integral de linha ao redor de uma curva
com a integral de superfície sobre uma superfície
que tem
como fronteira. Aqui, temos um campo vetorial
e a curva
é a borda da porção do plano
no primeiro octante, percorrida no sentido anti-horário visto de cima. Vamos precisar calcular o rotacional de
e parametrizar a superfície
para aplicar o Teorema de Stokes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Stokes. Ele diz que:
Isso significa que para calcular a integral de linha, podemos calcular a integral de superfície do rotacional de
.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de
, que é
. Para um campo vetorial
, o rotacional é dado por:
No nosso caso:
Calculando as derivadas:
Assim, o rotacional fica:
Passo 4
Agora, precisamos parametrizar a superfície
que está no plano
no primeiro octante. No primeiro octante,
. Podemos resolver para
:
Então, podemos usar
e
como parâmetros, onde
varia de
a
e, para cada
,
varia de
a
.
Passo 5
Vamos expressar o vetor normal à superfície. Para o plano
, o vetor normal
é dado pelos coeficientes de
, ou seja,
. Como queremos a orientação anti-horária vista de cima, o vetor normal deve apontar para cima, então usamos
.
A diferencial de área é então:
Mas como o plano é inclinado, precisamos calcular
em termos de
e
. Alternativamente, podemos usar a parametrização direta.
Passo 6
Vamos calcular a integral de superfície:
Multiplicando os vetores:
Mas lembrando que
, então:
Então a integral fica:
A região
é o triângulo no primeiro octante limitado por
, então a área é:
Portanto:
Resposta
A alternativa correta é a a. 4.