Calcule
, onde
e
é o cubo sólido unitário situado no primeiro octante. Calcule diretamente e depois verifique sua resposta usando o Teorema de Gauss.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo do campo
através da superfície do cubo unitário
no primeiro octante.
Vamos usar duas abordagens:
através da superfície
Vamos usar duas abordagens:
- Cálculo direto somando o fluxo em cada face.
- Verificação pelo Teorema da Divergência (Gauss).
Passo 2
Para o cálculo direto, notamos que
tem seis faces planas em
,
,
,
,
,
.
Em cada face determinamos o vetor normal unitário externo e calculamos
Em cada face determinamos o vetor normal unitário externo
Como cada face é um quadrado de área
, basta avaliar
constante ou dependente de uma coordenada.
Passo 3
Faces em
e
:
- Em
, e dão . Fluxo zero. - Em
, e . Como a área é , o fluxo é .
Soma das faces em: .
Passo 4
Faces em
e
:
- Em
, e dão . Fluxo zero. - Em
, e . Área implica fluxo .
Soma das faces em: .
Passo 5
Faces em
e
:
- Em
, e dão . Fluxo zero. - Em
, e . Área implica fluxo .
Soma das faces em: .
Passo 6
Somando todas as contribuições temos
Passo 7
Pelo Teorema da Divergência,
O teorema diz