Calcule \oiint_{\partial V} \vec{F} \cdot d \vec{S}, onde \vec{F}(x, y, z)=x \vec{i}+y \vec{j}-z \vec{k} e V é o cubo sólido unitário situado no primeiro octante. Calcule diretamente e depois verifique sua resposta usando o Teorema de Gauss.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo
\vec{F}(x,y,z)=x\,\vec{i}+y\,\vec{j}-z\,\vec{k}
através da superfície \partial V do cubo unitário V=[0,1]^3 no primeiro octante.
Vamos usar duas abordagens:
  1. Cálculo direto somando o fluxo em cada face.
  2. Verificação pelo Teorema da Divergência (Gauss).

Passo 2

Para o cálculo direto, notamos que \partial V tem seis faces planas em x=0, x=1, y=0, y=1, z=0, z=1.
Em cada face determinamos o vetor normal unitário externo \vec{n} e calculamos
\iint_{\text{face}}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS.
Como cada face é um quadrado de área 1, basta avaliar \vec{F}\cdot\vec{n} constante ou dependente de uma coordenada.

Passo 3

Faces em x=0 e x=1:
  • Em x=0, \vec{n}=(-1,0,0) e \vec{F}=(0,y,-z) dão \vec{F}\cdot\vec{n}=0. Fluxo zero.
  • Em x=1, \vec{n}=(1,0,0) e \vec{F}\cdot\vec{n}=x=1. Como a área é 1, o fluxo é 1.
    Soma das faces em x: 0+1=1.

Passo 4

Faces em y=0 e y=1:
  • Em y=0, \vec{n}=(0,-1,0) e \vec{F}=(x,0,-z) dão \vec{F}\cdot\vec{n}=0. Fluxo zero.
  • Em y=1, \vec{n}=(0,1,0) e \vec{F}\cdot\vec{n}=y=1. Área 1 implica fluxo 1.
    Soma das faces em y: 0+1=1.

Passo 5

Faces em z=0 e z=1:
  • Em z=0, \vec{n}=(0,0,-1) e \vec{F}=(x,y,0) dão \vec{F}\cdot\vec{n}=0. Fluxo zero.
  • Em z=1, \vec{n}=(0,0,1) e \vec{F}\cdot\vec{n}=-z=-1. Área 1 implica fluxo -1.
    Soma das faces em z: 0+(-1)=-1.

Passo 6

Somando todas as contribuições temos
1\;(\text{faces em }x)+1\;(\text{faces em }y)+(-1)\;(\text{faces em }z) =1.

Passo 7

Pelo Teorema da Divergência,
\nabla\cdot\vec{F} =\frac{\partial x}{\partial x}+\frac{\partial y}{\partial y}+\frac{\partial(-z)}{\partial z} =1+1-1=1.
O teorema diz
\oiint_{\partial V}\vec{F}\cdot d\vec S =\iiint_{V}(\nabla\cdot\vec{F})\,dV =\iiint_{V}1\,dV =\text{vol}(V)=1.

Resposta

\oiint_{\partial V}\vec{F}\cdot d\vec S = 1.

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