Use o Teorema do Divergente para calcular o fluxo de F através da superfície S, ou seja, a integral de superfície integral duplaS F d S.
F(x, y, z)=(x y+2 x z, x^2+y^2, x y-z^2), S é superfície do sólido limitado pelo cilindro x^2+y^2=4 e os planos z=0 e z=y-2.

Passo 1

A gente tem o campo vetorial vec F(x,y,z)=(xy+2xz,;x^2+y^2,;xy-z^2) e a superfície S que envolve o sólido limitado pelo cilindro x^2+y^2=4 e pelos planos z=0 e z=y-2. O que precisamos é usar o Teorema do Divergente para transformar o fluxo integral duplaSvec Fcdot dvec S numa integral tripla sobre o volume V.

Passo 2

O Teorema do Divergente diz que integral duplaSvec Fcdot dvec S=integral triplaVnablacdotvec F,dV. Primeiro a gente calcula a divergência: nablacdotvec F=partialpartial x(xy+2xz)+partialpartial y(x^2+y^2)+partialpartial z(xy-z^2)=y+2z+2y-2z=3y.

Passo 3

A região V é descrita por x^2+y^2<=4 e, para cada (x,y) no disco, o z varia de z=y-2 até z=0. Logo temos
integral triplaV3y,dV=integral duplaDl(integralz=y-2^0 3y,dzr)dA=integral duplaD3yl(0-(y-2)r)dA=integral duplaD3y(2-y),dA,

Passo 4

Para simplificar a integral dupla, passamos para polares: x=rcostheta, y=rsintheta, com 0<= r<=2, 0<=theta<=2pi e dA=r,dr,dtheta. Isso dá
integral0^2piintegral0^23(rsintheta)(2-rsintheta),r,dr,dtheta

Passo 5

Basta expandir e calcular separando em duas integrais: em r obtemos integral0^2 2r^2dr=16/3 e integral0^2r^3dr=4; em theta temos integral0^2pisintheta,dtheta=0 e integral0^2pisin^2theta,dtheta=pi. Substituindo, o fluxo final é -12pi.

Resposta

-12pi

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