Use o Teorema do Divergente para calcular o fluxo de
através da superfície
, ou seja, a integral de superfície
.
é superfície do sólido limitado pelo cilindro
e os planos
e
.
Passo 1
A gente tem o campo vetorial
e a superfície
que envolve o sólido limitado pelo cilindro
e pelos planos
e
. O que precisamos é usar o Teorema do Divergente para transformar o fluxo
numa integral tripla sobre o volume
.
Passo 2
O Teorema do Divergente diz que
. Primeiro a gente calcula a divergência:
.
Passo 3
A região
é descrita por
e, para cada
no disco, o
varia de
até
. Logo temos
Passo 4
Para simplificar a integral dupla, passamos para polares:
,
, com
,
e
. Isso dá
Passo 5
Basta expandir e calcular separando em duas integrais: em
obtemos
e
; em
temos
e
. Substituindo, o fluxo final é
.