Use o Teorema do Divergente para calcular o fluxo de
através da superfície
, ou seja, a integral de superfície
.
é superfície delimitada pelos planos
,
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema do Divergente. A ideia é calcular o fluxo do campo vetorial
através da superfície
. O Teorema do Divergente nos ajuda a transformar essa integral de superfície em uma integral tripla, o que geralmente facilita a conta. Para isso, vamos precisar calcular a divergência de
e integrar isso sobre o volume limitado pelos planos
,
,
,
,
, e
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a divergência do campo vetorial
. A divergência é dada por:
Aplicando isso ao nosso
:
Somando tudo:
Passo 3
Agora, vamos montar a integral tripla sobre o volume limitado pelos planos dados. Os limites de integração são:
-
vai de 0 a 3 -
vai de 0 a 2 -
vai de 0 a 1
Então, a integral fica:
Passo 4
Vamos resolver a integral passo a passo.
Primeiro, integramos em relação a
:
Agora, integramos em relação a
:
Por fim, integramos em relação a
:
Resposta
O fluxo de
através da superfície
é
.