Use o Teorema do Divergente para calcular o fluxo de F através da superfície S, ou seja, a integral de superfície integral duplaS F d S.
F(x, y, z)=(x y e^z, x y^2 z^3,-y e^z), S é superfície delimitada pelos planos x=0, y=0, z=0, x=3, y=2, z=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema do Divergente. A ideia é calcular o fluxo do campo vetorial F(x, y, z) = (x y e^z, x y^2 z^3, -y e^z) através da superfície S. O Teorema do Divergente nos ajuda a transformar essa integral de superfície em uma integral tripla, o que geralmente facilita a conta. Para isso, vamos precisar calcular a divergência de F e integrar isso sobre o volume limitado pelos planos x=0, y=0, z=0, x=3, y=2, e z=1.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a divergência do campo vetorial F. A divergência é dada por:
nabla cdot F = partialpartial x(Fx) + partialpartial y(Fy) + partialpartial z(Fz)
Aplicando isso ao nosso F:
partialpartial x(x y e^z) &= y e^z partialpartial y(x y^2 z^3) &= 2 x y z^3 partialpartial z(-y e^z) &= -y e^z
Somando tudo:
nabla cdot F = y e^z + 2 x y z^3 - y e^z = 2 x y z^3

Passo 3

Agora, vamos montar a integral tripla sobre o volume limitado pelos planos dados. Os limites de integração são:
  • x vai de 0 a 3
  • y vai de 0 a 2
  • z vai de 0 a 1
Então, a integral fica:
integral triplaV nabla cdot F , dV = integral0^3 integral0^2 integral0^1 2 x y z^3 , dz , dy , dx

Passo 4

Vamos resolver a integral passo a passo.
Primeiro, integramos em relação a z:
integral0^1 2 x y z^3 , dz = 2 x y [ z^44 ]0^1 = 2 x y ( 14 ) = x y2
Agora, integramos em relação a y:
integral0^2 x y2 , dy = x2 [ y^22 ]0^2 = x2 ( 42 ) = x2 times 2 = x
Por fim, integramos em relação a x:
integral0^3 x , dx = [ x^22 ]0^3 = 92

Resposta

O fluxo de F através da superfície S é 92.

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