Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície
; ou seja, calcule o fluxo de
através de
.
,
é a superfície do sólido limitado pelo cilindro
e pelos planos
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície do campo vetorial
através da superfície
, usando o Teorema do Divergente. O conteúdo aqui envolve cálculo vetorial e o Teorema do Divergente, que nos ajuda a transformar uma integral de superfície em uma integral de volume. Para isso, vamos precisar calcular a divergência do campo
e depois integrar isso sobre o volume delimitado pelo cilindro
e pelos planos
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a divergência de um campo vetorial. A divergência
é uma operação que nos dá uma medida de quanto o campo está “saindo” de um ponto. Para um campo
, a divergência é calculada da seguinte forma:
Passo 3
Vamos calcular a divergência do nosso campo
:
Então, a divergência é:
Passo 4
Agora que temos a divergência, vamos aplicar o Teorema do Divergente, que diz:
Ou seja, a integral de superfície do campo
através de
é igual à integral de volume da divergência de
sobre o volume
delimitado por
.
Passo 5
Então, precisamos calcular a integral de
sobre o volume
. Para facilitar, vamos usar coordenadas cilíndricas, já que a base do nosso sólido é um cilindro.
Nas coordenadas cilíndricas:
E o elemento de volume é:
Passo 6
Vamos identificar os limites de integração. O cilindro está definido por
, que em coordenadas cilíndricas é
. Os planos que limitam
são
e
.
Portanto, os limites são:
Passo 7
Agora montamos a integral:
Substituindo
:
Passo 8
Vamos resolver a integral interna em
:
Então, a integral fica:
Passo 9
Vamos resolver a integral em
primeiro:
Então, a integral total se torna:
Passo 10
Vamos separar as integrais:
Sabemos que:
Portanto:
Resposta
O fluxo de
através de
é
.