Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície integral duplaS F cdot d S; ou seja, calcule o fluxo de F através de S.
F(x, y, z)=y e z^2 i+y^2 j+e^x y k,
S é a superfície do sólido limitado pelo cilindro x^2+y^2=9 e pelos planos z=0 e z=y-3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície do campo vetorial através da superfície , usando o Teorema do Divergente. O conteúdo aqui envolve cálculo vetorial e o Teorema do Divergente, que nos ajuda a transformar uma integral de superfície em uma integral de volume. Para isso, vamos precisar calcular a divergência do campo e depois integrar isso sobre o volume delimitado pelo cilindro e pelos planos e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a divergência de um campo vetorial. A divergência nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z é uma operação que nos dá uma medida de quanto o campo está “saindo” de um ponto. Para um campo , a divergência é calculada da seguinte forma:

Passo 3

Vamos calcular a divergência do nosso campo partial Fxpartial x = partialpartial x(y e z^2) = 0 (pois não há (x) em (Fx)) :
partial Fypartial y = partialpartial y(y^2) = 2y ãá
partial Fzpartial z = partialpartial z(e^x y) = 0 (pois não há (z) em (Fz))
nabla cdot F = 0 + 2y + 0 = 2y ãá
Então, a divergência é:

Passo 4

Agora que temos a divergência, vamos aplicar o Teorema do Divergente, que diz:
integral duplaS F cdot dS = integral triplaV nabla cdot F , dV
Ou seja, a integral de superfície do campo através de é igual à integral de volume da divergência de sobre o volume delimitado por .

Passo 5

Então, precisamos calcular a integral de x = r costheta, y = r sintheta, z = z sobre o volume dV = r , dz , dr , dtheta . Para facilitar, vamos usar coordenadas cilíndricas, já que a base do nosso sólido é um cilindro.
Nas coordenadas cilíndricas:
E o elemento de volume é:

Passo 6

Vamos identificar os limites de integração. O cilindro está definido por 0 <= r <= 3 , que em coordenadas cilíndricas é 0 <= theta <= 2pi . Os planos que limitam 0 <= z <= r sintheta - 3 são e .
Portanto, os limites são:

Passo 7

Agora montamos a integral:
integral triplaV 2y , dV = integral0^2pi integral0^3 integral0^r sintheta - 3 2y , r , dz , dr , dtheta
Substituindo = integral0^2pi integral0^3 integral0^r sintheta - 3 2(r sintheta) , r , dz , dr , dtheta :
= 2 integral0^2pi integral0^3 r^2 sintheta ( integral0^r sintheta - 3 dz ) dr , dtheta

Passo 8

Vamos resolver a integral interna em integral0^r sintheta - 3 dz = (r sintheta - 3) - 0 = r sintheta - 3 :
2 integral0^2pi integral0^3 r^2 sintheta (r sintheta - 3) , dr , dtheta
Então, a integral fica:
= 2 integral0^2pi integral0^3 r^3 sin^2theta - 3r^2 sintheta , dr , dtheta

Passo 9

Vamos resolver a integral em integral0^3 r^3 sin^2theta , dr = sin^2theta integral0^3 r^3 , dr = sin^2theta [ r^44 ]0^3 = sin^2theta ( 814 ) = 814 sin^2theta primeiro:
integral0^3 -3r^2 sintheta , dr = -3 sintheta integral0^3 r^2 , dr = -3 sintheta [ r^33 ]0^3 = -3 sintheta ( 9 ) = -27 sintheta
2 integral0^2pi ( 814 sin^2theta - 27 sintheta ) dtheta
Então, a integral total se torna:

Passo 10

Vamos separar as integrais:
2 ( 814 integral0^2pi sin^2theta , dtheta - 27 integral0^2pi sintheta , dtheta )
Sabemos que:
integral0^2pi sin^2theta , dtheta = pi
integral0^2pi sintheta , dtheta = 0
Portanto:
2 ( 814 cdot pi - 27 cdot 0 ) = 2 cdot 814 pi = 812 pi

Resposta

O fluxo de através de é .

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