Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície integral duplaS F cdot d S; ou seja, calcule o fluxo de F através de S.
F(x, y, z)=z cos y i+x sen z j+x z k,
S é a superfície do tetraedro limitado pelos planos x=0, y=0, z=phi e 2 x+y+z=2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o fluxo do campo vetorial através da superfície F(x, y, z) = z cos y i + x sen z j + x z k de um tetraedro definido pelos planos S, x=0, y=0 e z=phi. Para isso, vamos usar o Teorema da Divergente, que relaciona a integral de superfície com a integral de volume da divergência do campo. Então, precisamos encontrar a divergência de 2x + y + z = 2 e integrar isso sobre o volume do tetraedro.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a divergência do campo vetorial F. A divergência de um campo F = Fx i + Fy j + Fz k é dada por:
nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z
Aplicando isso ao nosso campo:
Calculando cada derivada:
  • nabla cdot F = partialpartial x(z cos y) + partialpartial y(x sen z) + partialpartial z(x z) (porque z e y são tratadas como constantes em relação a x)
  • (porque x e z são constantes em relação a y)
  • partialpartial x(z cos y) = 0
Então:
partialpartial y(x sen z) = 0

Passo 3

Agora, precisamos definir os limites de integração para o tetraedro. Os planos que delimitam o tetraedro são:
  1. x = 0
  2. y = 0
  3. z = phi
  4. 2x + y + z = 2
Vamos resolver o quarto plano para expressar z em função de x e y:
z = 2 - 2x - y
Além disso, z também está limitado por z = phi. Para simplificar, vamos assumir que phi é tal que z varia de 0 até 2 - 2x - y.

Passo 4

Vamos estabelecer os limites de integração:
  • x varia de 0 até o valor onde 2x + y + z = 2 intersecta com y = 0 e z = 0. Colocando y=0 e z=0 na equação, temos 2x = 2 Rightarrow x = 1. Então, 0 <= x <= 1.
  • Para cada valor de x, y varia de 0 até o ponto onde 2x + y + z = 2 intersecta com z=0. Com z=0, temos y = 2 - 2x. Então, 0 <= y <= 2 - 2x.
  • Para cada par (x, y), z varia de 0 até 2 - 2x - y. Então, 0 <= z <= 2 - 2x - y.

Passo 5

Agora, configuramos a integral de volume da divergência:
integral duplaS F cdot dS = integral triplaV (nabla cdot F) , dV = integral triplaV x , dV
Usando os limites que definimos:
integral0^1 integral0^2 - 2x integral0^2 - 2x - y x , dz , dy , dx

Passo 6

Vamos integrar em relação a z primeiro:
integral0^2 - 2x - y x , dz = x [ z ]0^2 - 2x - y = x (2 - 2x - y)
Agora, a integral fica:
integral0^1 integral0^2 - 2x x (2 - 2x - y) , dy , dx

Passo 7

Agora, vamos integrar em relação a y:
Primeiro, expandimos a expressão dentro da integral:
x (2 - 2x - y) = 2x - 2x^2 - x y
Então, a integral em y fica:
integral0^2 - 2x (2x - 2x^2 - x y) , dy = [ 2x y - 2x^2 y - 12 x y^2 ]0^2 - 2x
Substituindo os limites:
2x (2 - 2x) - 2x^2 (2 - 2x) - 12 x (2 - 2x)^2
Simplificando cada termo:
  1. 2x (2 - 2x) = 4x - 4x^2
  2. -2x^2 (2 - 2x) = -4x^2 + 4x^3
  3. -12 x (4 - 8x + 4x^2) = -2x + 4x^2 - 2x^3
Somando tudo:
(4x - 4x^2) + (-4x^2 + 4x^3) + (-2x + 4x^2 - 2x^3) = 2x - 4x^2 + 2x^3
Então, a integral fica:
integral0^1 (2x - 4x^2 + 2x^3) , dx

Passo 8

Por fim, vamos integrar em relação a x:
integral0^1 2x , dx = [ x^2 ]0^1 = 1
integral0^1 -4x^2 , dx = -4 [ x^33 ]0^1 = -43
integral0^1 2x^3 , dx = 2 [ x^44 ]0^1 = 12
Somando os resultados:
1 - 43 + 12 = 66 - 86 + 36 = 16

Resposta

O fluxo de F através de S é 16.

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