Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície
; ou seja, calcule o fluxo de
através de
.
,
é a superfície do tetraedro limitado pelos planos
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o fluxo do campo vetorial através da superfície
de um tetraedro definido pelos planos
,
,
e
. Para isso, vamos usar o Teorema da Divergente, que relaciona a integral de superfície com a integral de volume da divergência do campo. Então, precisamos encontrar a divergência de
e integrar isso sobre o volume do tetraedro.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a divergência do campo vetorial
. A divergência de um campo
é dada por:
Aplicando isso ao nosso campo:
Calculando cada derivada:
-
(porque z e y são tratadas como constantes em relação a x) - (porque x e z são constantes em relação a y)
-
Então:
Passo 3
Agora, precisamos definir os limites de integração para o tetraedro. Os planos que delimitam o tetraedro são:
Vamos resolver o quarto plano para expressar z em função de x e y:
Além disso,
também está limitado por
. Para simplificar, vamos assumir que
é tal que
varia de 0 até
.
Passo 4
Vamos estabelecer os limites de integração:
-
x varia de 0 até o valor onde
intersecta com e . Colocando e na equação, temos . Então, . -
Para cada valor de x, y varia de 0 até o ponto onde
intersecta com . Com , temos . Então, . -
Para cada par (x, y), z varia de 0 até
. Então, .
Passo 5
Agora, configuramos a integral de volume da divergência:
Usando os limites que definimos:
Passo 6
Vamos integrar em relação a z primeiro:
Agora, a integral fica:
Passo 7
Agora, vamos integrar em relação a y:
Primeiro, expandimos a expressão dentro da integral:
Então, a integral em y fica:
Substituindo os limites:
Simplificando cada termo:
Somando tudo:
Então, a integral fica:
Passo 8
Por fim, vamos integrar em relação a x:
Somando os resultados:
Resposta
O fluxo de
através de
é
.