Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície
; ou seja, calcule o fluxo de
através de
.
,
é a superfície do sólido limitado pelo paraboloide
e pelo plano
Passo 1
Vamos usar o Teorema da Divergência, que diz que o fluxo de
através da superfície fechada
é igual ao integral triplo do divergente de
sobre o volume
encerrado por
. Aqui,
é o sólido limitado pelo paraboloide
e pelo plano
.
Passo 2
Primeiro calculamos o divergente de
:
Logo o fluxo é
Para calcular essa integral, usamos coordenadas cilíndricas:
,
,
, com
,
e
. Temos
e
.
Passo 3
Agora avaliamos
Fazendo as integrais:
Passo 4
Portanto, o fluxo de
através de
é dado por 32π.