Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície integral duplaS F cdot d S; ou seja, calcule o fluxo de F através de S.
F(x, y, z)=x^3 i+2 x z^2 j+3 y^2 z k,
S é a superfície do sólido limitado pelo paraboloide z=4-x^2-y^2 e pelo plano xy

Passo 1

Vamos usar o Teorema da Divergência, que diz que o fluxo de F através da superfície fechada S é igual ao integral triplo do divergente de F sobre o volume V encerrado por S. Aqui, V é o sólido limitado pelo paraboloide z=4-x^2-y^2 e pelo plano z=0.

Passo 2

Primeiro calculamos o divergente de F(x,y,z)=x^3,i+2xz^2,j+3y^2z,k:
nablacdotF=partialpartial x(x^3)+partialpartial y(2xz^2)+partialpartial z(3y^2z)=3x^2+0+3y^2=3(x^2+y^2)
Logo o fluxo é
integral duplaSFcdot dS=integral triplaV3(x^2+y^2),dV
Para calcular essa integral, usamos coordenadas cilíndricas: x=rcostheta, y=rsintheta, z=z, com rin[0,2], thetain[0,2pi] e zin[0,4-r^2]. Temos x^2+y^2=r^2 e dV=r,dr,dtheta,dz.

Passo 3

Agora avaliamos
integral triplaV3(x^2+y^2)dV=3integral0^2pi!dthetaintegral0^2!drintegral0^4-r^2r^2,r ,dz =3integral0^2pidthetaintegral0^2r^3(4-r^2),dr
Fazendo as integrais:
3cdot2piintegral0^2(4r^3-r^5)dr=6pil[4r^44-r^66r]0^2 =6pil(16-646r)=6picdot323=32pi

Passo 4

Portanto, o fluxo de F através de S é dado por 32π.

Resposta

32pi

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