Um sapo de massa
está parado na extremidade de uma tábua de massa
e comprimento
. A tábua flutua em repouso sobre a superfície de um lago. O sapo pula em direçâo à outra extremidade da tábua com uma velocidade
que forma um ângulo
com a direção horizontal. Determine o módulo da velocidade inicial do sapo para que ele atinja a outra extremidade da tábua.
Resposta:
.
Resposta:
Passo 1
Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos um sapo de massa
que está na extremidade de uma tábua de massa
e comprimento
, que flutua em repouso sobre um lago. O sapo pula em direção à outra extremidade da tábua com uma velocidade
formando um ângulo
com a horizontal. Precisamos determinar a velocidade inicial
do sapo para que ele atinja a outra extremidade da tábua.
Conteúdo da matéria: Conservação do momento linear e movimento relativo.
O que vamos precisar:
- Princípio da conservação do momento linear.
- Relações vetoriais para decompor a velocidade.
- Conceitos de movimento relativo entre o sapo e a tábua.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar que, antes do sapo pular, o sistema (sapo + tábua) está em repouso. Quando o sapo pula, ele exerce uma força sobre a tábua, fazendo com que a tábua também adquira um movimento.
Princípio: De acordo com a conservação do momento linear, se nenhum impulso externo atua sobre o sistema, o momento linear total permanece constante. Como o sistema estava em repouso, o momento linear total após o sapo pular deve ser zero.
Passo 3
Vamos definir os movimentos:
- O sapo pula com velocidade
formando um ângulo com a horizontal. - A tábua se moverá na direção oposta para manter o momento total zero.
Vamos decompor a velocidade do sapo em suas componentes horizontal e vertical:
- Componente horizontal:
- Componente vertical:
Como a tábua só se moverá horizontalmente devido à força aplicada pelo sapo, consideramos apenas a componente horizontal do momento.
Passo 4
Aplicando a conservação do momento linear na direção horizontal:
Onde:
-
é a componente horizontal da velocidade do sapo. -
é a velocidade da tábua na direção horizontal.
Rearranjando para encontrar
:
Passo 5
Agora, precisamos relacionar o movimento do sapo em relação à tábua para que ele alcance a outra extremidade da tábua durante seu vôo.
A posição relativa final do sapo em relação à tábua deve ser igual ao comprimento da tábua
:
Substituindo
da equação anterior:
Passo 6
Determinar o tempo de voo
do sapo. O movimento vertical do sapo é influenciado pela gravidade.
No movimento vertical:
Factorizando
:
Descartamos a solução
e resolvemos:
Passo 7
Substituir
na equação da posição relativa:
Usando a identidade trigonométrica
:
Passo 8
Isolar
:
Tomando a raiz quadrada dos dois lados para encontrar
:
Resposta
A velocidade inicial do sapo para que ele atinja a outra extremidade da tábua ��: