Um sapo de massa m está parado na extremidade de uma tábua de massa M e comprimento L. A tábua flutua em repouso sobre a superfície de um lago. O sapo pula em direçâo à outra extremidade da tábua com uma velocidade v que forma um ângulo theta com a direção horizontal. Determine o módulo da velocidade inicial do sapo para que ele atinja a outra extremidade da tábua.
Resposta: nu=raizg L(sen 2 theta)(1+(m / M).

Passo 1

Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos um sapo de massa que está na extremidade de uma tábua de massa e comprimento , que flutua em repouso sobre um lago. O sapo pula em direção à outra extremidade da tábua com uma velocidade formando um ângulo com a horizontal. Precisamos determinar a velocidade inicial do sapo para que ele atinja a outra extremidade da tábua.
Conteúdo da matéria: Conservação do momento linear e movimento relativo.
O que vamos precisar:
  • Princípio da conservação do momento linear.
  • Relações vetoriais para decompor a velocidade.
  • Conceitos de movimento relativo entre o sapo e a tábua.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar que, antes do sapo pular, o sistema (sapo + tábua) está em repouso. Quando o sapo pula, ele exerce uma força sobre a tábua, fazendo com que a tábua também adquira um movimento.
Princípio: De acordo com a conservação do momento linear, se nenhum impulso externo atua sobre o sistema, o momento linear total permanece constante. Como o sistema estava em repouso, o momento linear total após o sapo pular deve ser zero.

Passo 3

Vamos definir os movimentos:
  • O sapo pula com velocidade formando um ângulo com a horizontal.
  • A tábua se moverá na direção oposta para manter o momento total zero.
Vamos decompor a velocidade do sapo em suas componentes horizontal e vertical:
  • Componente horizontal:
  • Componente vertical:
Como a tábua só se moverá horizontalmente devido à força aplicada pelo sapo, consideramos apenas a componente horizontal do momento.

Passo 4

Aplicando a conservação do momento linear na direção horizontal:
m vx = M V
Onde:
  • V = m v cos thetaM é a componente horizontal da velocidade do sapo.
  • é a velocidade da tábua na direção horizontal.
Rearranjando para encontrar :

Passo 5

Agora, precisamos relacionar o movimento do sapo em relação à tábua para que ele alcance a outra extremidade da tábua durante seu vôo.
A posição relativa final do sapo em relação à tábua deve ser igual ao comprimento da tábua L = vx t - V t :
L = (v cos theta - V) t
L = ( v cos theta - m v cos thetaM ) t
Substituindo L = v cos theta (1 - mM) t da equação anterior:

Passo 6

Determinar o tempo de voo 0 = vy t - 12 g t^2 do sapo. O movimento vertical do sapo é influenciado pela gravidade.
No movimento vertical:
0 = v sin theta cdot t - 12 g t^2
t (v sin theta - 12 g t) = 0
Factorizando v sin theta = 12 g t :
t = 2 v sin thetag
Descartamos a solução e resolvemos:

Passo 7

Substituir L = v cos theta (1 - mM) cdot 2 v sin thetag na equação da posição relativa:
L = 2 v^2 sin theta cos theta (1 - mM)g
L = v^2 sin 2theta (1 - mM)g
Usando a identidade trigonométrica :

Passo 8

Isolar v^2 = g Lsin 2theta (1 - mM) :
v = raiz g Lsin 2theta (1 - mM)
Tomando a raiz quadrada dos dois lados para encontrar :

Resposta

A velocidade inicial do sapo para que ele atinja a outra extremidade da tábua ��:
nu = raiz g Lsin 2theta (1 - mM)

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