Resolva cada uma das equaçeis diferenciás aboix.
\left(e^{x}+y\right) d x+\left(2+x+y e^{y}\right) d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial na forma
(e^{x}+y)\,dx + (2 + x + y\,e^{y})\,dy = 0
e pede a sua solução geral. Esse tipo de equação pode ser exata se existir uma função potencial \varphi(x,y) tal que
\frac{\partial \varphi}{\partial x} = e^{x} + y \quad\text{e}\quad \frac{\partial \varphi}{\partial y} = 2 + x + y\,e^{y}.
Vamos primeiro verificar a exatidão e depois encontrar \varphi.

Passo 2

Verificamos a condição de exatidão comparando
M(x,y) = e^{x}+y \quad\text{e}\quad N(x,y) = 2 + x + y\,e^{y}.
Calculamos
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(e^{x}+y) = 1, \quad \frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(2 + x + y\,e^{y}) = 1.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos \varphi(x,y) tal que \phi_x = M. Integramos M em relação a x:
\varphi(x,y) = \int (e^{x} + y)\,dx = e^{x} + x\,y + h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 4

Agora impomos \phi_{y} = N. Calculamos
\phi_{y}(x,y) = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{x} + x\,y + h(y)\bigr) = x + h'(y).
Igualando a N, temos
x + h'(y) = 2 + x + y\,e^{y} \quad\Longrightarrow\quad h'(y) = 2 + y\,e^{y}.
Integramos em y:
h(y) = \int\bigl(2 + y\,e^{y}\bigr)\,dy = 2y + \int y\,e^{y}\,dy = 2y + \bigl(y-1\bigr)e^{y} + C_{1}.

Passo 5

Substituindo h(y) em \varphi, obtemos a função potencial
\varphi(x,y) = e^{x} + x\,y + 2y + (y-1)e^{y}.
A solução geral da equação diferencial exata é
\varphi(x,y) = C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

e^{x} + x\,y + 2y + (y-1)e^{y} = C.

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