Use o teorema da existência e unicidade para EDOs para encontrar todos os pontos ( x0, y0) para os quais cada EDO abaixo tem uma única solução passando por (x0, y0):
y^prime=y^2 / 3

Passo 1

O enunciado nos pede para usar o teorema de existência e unicidade para EDOs e achar todos os pontos (x0,y0) onde a EDO y'=y^2/3 tem solução única passando por esse ponto. O conteúdo aqui é o teorema de Picard–Lindelöf, que exige que a função f(x,y) e sua derivada parcial partial f/partial y sejam contínuas num retângulo em torno de (x0,y0).

Passo 2

Identificamos f(x,y)=y^2/3. Precisamos calcular a derivada parcial em relação a y.

Passo 3

Computando partial f/partial y temos
partialpartial yl(y^2/3r)=23y^-1/3

Passo 4

Verificamos continuidade: f(x,y)=y^2/3 é contínua para todo yinR, mas 23y^-1/3 não é contínua em y=0 (fica singular). Portanto, o teorema garante existência e unicidade local apenas para pontos onde y0neq0.

Resposta

Todos os pontos (x0,y0) com y0neq0.

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