Use o teorema da existência e unicidade para EDOs para encontrar todos os pontos (
) para os quais cada EDO abaixo tem uma única solução passando por
:
Passo 1
O enunciado pede que apliquemos o Teorema de Existência e Unicidade para EDOs de primeira ordem e encontremos todos os pontos iniciais
onde a solução existe e é única.
Passo 2
Primeiro vamos colocar a EDO em forma explícita
. Temos:
Passo 3
Para usar o teorema, precisamos de um domínio onde
e
sejam contínuas numa vizinhança de
.
Passo 4
Observamos que
é quociente de funções contínuas, portanto só falha quando o denominador se anula. Ou seja, quando
Passo 5
Logo,
é contínua para
e
.
Agora, será uma combinação de derivadas do numerador e do denominador, mas nenhuma introduzirá zeros extras no denominador além de
.
Portanto, também é contínua exatamente no mesmo domínio
.
Agora,
Portanto,
Passo 6
Concluímos assim que em qualquer ponto
tal que
e
, existe uma única solução que passa por esse ponto inicial.
Resposta
Todos os pontos
com
e
e
.