Use o teorema da existência e unicidade para EDOs para encontrar todos os pontos ( x0, y0) para os quais cada EDO abaixo tem uma única solução passando por (x0, y0):
x(4-y^2) y^prime-y^2=x^2 cos (x y)

Passo 1

O enunciado pede que apliquemos o Teorema de Existência e Unicidade para EDOs de primeira ordem e encontremos todos os pontos iniciais (x0,y0) onde a solução existe e é única.

Passo 2

Primeiro vamos colocar a EDO em forma explícita y'=f(x,y). Temos:
y' = y^2 + x^2cos(xy)x(4-y^2)

Passo 3

Para usar o teorema, precisamos de um domínio onde f(x,y) e partial f/partial y sejam contínuas numa vizinhança de (x0,y0).

Passo 4

Observamos que f(x,y) é quociente de funções contínuas, portanto só falha quando o denominador se anula. Ou seja, quando
x(4-y^2)=0 Longrightarrow x=0ou y^2=4,(y=pm2)

Passo 5

Logo, f é contínua para xneq0 e yneqpm2.
Agora, partial f/partial y será uma combinação de derivadas do numerador e do denominador, mas nenhuma introduzirá zeros extras no denominador além de x(4-y^2).
Portanto, partial f/partial y também é contínua exatamente no mesmo domínio xneq0,,yneqpm2.

Passo 6

Concluímos assim que em qualquer ponto (x0,y0) tal que x0neq0 e y0neqpm2, existe uma única solução que passa por esse ponto inicial.

Resposta

Todos os pontos (x0,y0) com x0neq0 e y0neq2 e y0neq-2.

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