Encontre uma família de soluções explícitas (especificando um intervalo I onde as soluções sejam válidas) para cada EDO abaixo
(1+x) y^prime-x y=x+x^2

Passo 1

Temos a EDO
(1+x)y'-xy = x + x^2
O conteúdo é EDO linear de 1ª ordem. Para resolver, vamos reescrever na forma padrão y'+P(x)y=Q(x) e usar fator integrante.

Passo 2

Dividindo tudo por 1+x (supondo xneq -1), obtemos na forma padrão:
y' - x1+x,y = x
Aqui P(x) = -tfracx1+x e Q(x)=x.

Passo 3

Vamos calcular o fator integrante mu(x)=e^integral P(x),dx. Note que
integral -x1+x ,dx = -integrall(1 - 11+xr)dx = -x + ln|1+x|
Logo,
mu(x) = e^-x + ln|1+x| = (1+x)e^-x

Passo 4

Multiplicando a EDO padrão por mu(x), o lado esquerdo fica derivada exata:
(1+x)e^-xl(y' - x1+xyr) = ddxl((1+x)e^-xyr)
e o lado direito é
x(1+x)e^-x

Passo 5

Integramos ambos os lados:
integral ddxl((1+x)e^-xyr)dx = integral x(1+x)e^-xdx
Usando integração por partes repetida, encontra-se
integral x(1+x)e^-xdx = -e^-x(x^2+3x+3) + C
Então
(1+x)e^-xy = -e^-x(x^2+3x+3) + C

Passo 6

Isolando y, temos
y = -e^-x(x^2+3x+3) + C(1+x)e^-x = -x^2+3x+31+x + C e^x1+x
A solução é válida em qualquer intervalo onde 1+xneq0, por exemplo (-infty,-1) ou (-1,infty).

Resposta

Uma família de soluções é
y(x) = -x^2 + 3x + 3x+1 + C e^xx+1, CinR,
válida para qualquer intervalo em que xneq -1 (por exemplo (-infty,-1) ou (-1,infty)).

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