Calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
Aqui estamos trabalhando com limites de funções racionais. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar a expressão, possivelmente fatorando o numerador e o denominador.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir $ x = -2 $ diretamente na expressão para ver o que acontece:
Como tanto o numerador quanto o denominador dão 0, temos uma forma indeterminada $ \frac{0}{0} $. Isso significa que precisamos simplificar a expressão fatorando o numerador e o denominador.
Passo 3
Vamos começar fatorando o numerador $ x^{3}-3 x^{2}-6 x+8 $.
Sabemos que se $ x = -2 $ é uma raiz, então $ (x + 2) $ é um fator. Vamos usar a divisão sintética:
Isso nos dá:
Passo 4
Agora, vamos fatorar o denominador $ 3x^{2}+5x-2 $.
Procuramos dois números que multiplicados dão $ 3 \times (-2) = -6 $ e que somados dão 5. Esses números são 6 e -1.
Reescrevemos o denominador:
Então, o denominador fatorado é:
Passo 5
Agora que temos o numerador e o denominador fatorados, vamos substituir na expressão original:
Podemos cancelar o fator comum $ (x + 2) $:
Passo 6
Finalmente, substituímos $ x = -2 $ na expressão simplificada:
Resposta
O limite é $ -\dfrac{18}{7} $.