Calcule
lim x -2 x^3-3 x^2-6 x+83 x^2+5 x-2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
lim x -2 x^3-3 x^2-6 x+83 x^2+5 x-2
Aqui estamos trabalhando com limites de funções racionais. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar a expressão, possivelmente fatorando o numerador e o denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir $ x = -2 $ diretamente na expressão para ver o que acontece:
x = -2
Numerador: (-2)^3 - 3(-2)^2 - 6(-2) + 8 = -8 - 12 + 12 + 8 = 0
Como tanto o numerador quanto o denominador dão 0, temos uma forma indeterminada $ \frac{0}{0} $. Isso significa que precisamos simplificar a expressão fatorando o numerador e o denominador.

Passo 3

Vamos começar fatorando o numerador $ x^{3}-3 x^{2}-6 x+8 $.
Sabemos que se $ x = -2 $ é uma raiz, então $ (x + 2) $ é um fator. Vamos usar a divisão sintética:
x^3-3 x^2-6 x+8
Isso nos dá:
x = -2

Passo 4

Agora, vamos fatorar o denominador $ 3x^{2}+5x-2 $.
Procuramos dois números que multiplicados dão $ 3 \times (-2) = -6 $ e que somados dão 5. Esses números são 6 e -1.
Reescrevemos o denominador:
3x^2+5x-2
Então, o denominador fatorado é:
3 times (-2) = -6

Passo 5

Agora que temos o numerador e o denominador fatorados, vamos substituir na expressão original:
(x + 2)(x^2 - 5x + 4)(3x - 1)(x + 2)
Podemos cancelar o fator comum $ (x + 2) $:
(x + 2)

Passo 6

Finalmente, substituímos $ x = -2 $ na expressão simplificada:
x = -2

Resposta

O limite é $ -\dfrac{18}{7} $.

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