Use o teorema da existência e unicidade para EDOs para encontrar todos os pontos ( x0, y0) para os quais cada EDO abaixo tem uma única solução passando por (x0, y0):
y^prime=raizy^2-9

Passo 1

O enunciado pede para usar o teorema de existência e unicidade em EDOs na equação y' = raizy^2 - 9, determinando para quais pontos (x0,y0) há solução única que passe por esse ponto. Vamos precisar aplicar as hipóteses de continuidade de f(x,y) e de partial f/partial y.

Passo 2

Definimos f(x,y)=raizy^2-9. Para que f esteja bem definida e contínua precisamos de y^2-9>=0, ou seja, |y|>=3. Logo, existe pelo menos uma solução passando por qualquer (x0,y0) com |y0|>=3.

Passo 3

Calculamos a derivada parcial em relação a y:
partial fpartial y(x,y)=yraizy^2-9
Essa expressão só é contínua quando o denominador é não nulo, isto é, para |y|>3. Portanto a condição de unicidade (continuidade de partial f/partial y) vale somente para |y0|>3.

Resposta

Todos os pontos (x0,y0) tais que y0>3 ou y0<-3.

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