Use o Teorema Fundamental do Cálculo para achar a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função definida por
Informações dadas:
Pergunta: calcular a derivada em relação a
dessa integral (ou seja, achar
).
Passo 2
Teoria essencial (explicada com calma): o Teorema Fundamental do Cálculo, parte 2, diz o seguinte. Se
é contínua em um intervalo contendo
e
, e definimos
então
é diferenciável e
O que isso significa na prática: quando a variável
aparece somente como limite superior da integral, a derivada da integral é simplesmente a avaliação do integrando nesse limite superior. Se o limite superior for uma função
(não só
), a regra geral é
que é a combinação do Teorema Fundamental do Cálculo com a regra da cadeia.
Passo 3
Aplicando o que aprendemos ao nosso problema: aqui o integrando é
e o limite superior é
(ou seja,
e
). Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
Então a resposta imediata pelo teorema é
.
Passo 4
Para fixar e para você saber fazer de outra forma (útil na prova), vou mostrar o caminho por integração direta e depois derivar o resultado — assim você vê que dá o mesmo resultado e aprende duas técnicas.
- Calcular a integral indefinida de
. Faça a substituição
A integral fica
- Integrando
:
Voltando a
,
- Agora avalie a integral definida de
a :
Ou seja,
- Derive
usando regra da cadeia e a regra do poder. Primeiro, a derivada de é
Como
, obtemos
Agora multiplicando pelo coeficiente
em
,
Pronto — confirmamos que o resultado coincide com o obtido pelo Teorema Fundamental do Cálculo.
Passo 5
Recapitulando de forma motivadora: quando tiver uma integral com limite superior igual a
, você pode quase sempre usar o Teorema Fundamental do Cálculo e já escrever a derivada avaliando o integrando em
. Se o limite superior for uma função, lembre de multiplicar pela derivada dessa função (regra da cadeia). Se preferir ou precisar, dá para calcular a antiderivada explicitamente e então derivar — como mostramos, os dois caminhos dão o mesmo resultado.