Use o Teorema Fundamental do Cálculo para achar a derivada das seguintes funções:
\int_{0}^{x} \sqrt{1+2 t} d t

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função definida por
\int_{0}^{x} \sqrt{1+2 t}\, d t.
Informações dadas:
\text{integrando: }\sqrt{1+2t},\qquad \text{limite inferior: }0,\qquad \text{limite superior: }x.
Pergunta: calcular a derivada em relação a x dessa integral (ou seja, achar \dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_{0}^{x}\sqrt{1+2t}\,dt).

Passo 2

Teoria essencial (explicada com calma): o Teorema Fundamental do Cálculo, parte 2, diz o seguinte. Se f é contínua em um intervalo contendo a e x, e definimos
F(x)=\int_{a}^{x} f(t)\,dt,
então F é diferenciável e
F'(x)=f(x).
O que isso significa na prática: quando a variável x aparece somente como limite superior da integral, a derivada da integral é simplesmente a avaliação do integrando nesse limite superior. Se o limite superior for uma função g(x) (não só x), a regra geral é
\frac{d}{dx}\int_{a}^{g(x)} f(t)\,dt = f(g(x))\cdot g'(x),
que é a combinação do Teorema Fundamental do Cálculo com a regra da cadeia.

Passo 3

Aplicando o que aprendemos ao nosso problema: aqui o integrando é \sqrt{1+2t} e o limite superior é x (ou seja, g(x)=x e g'(x)=1). Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
\frac{d}{dx}\int_{0}^{x} \sqrt{1+2t}\,dt = \sqrt{1+2x}\cdot 1 = \sqrt{1+2x}.
Então a resposta imediata pelo teorema é \sqrt{1+2x}.

Passo 4

Para fixar e para você saber fazer de outra forma (útil na prova), vou mostrar o caminho por integração direta e depois derivar o resultado — assim você vê que dá o mesmo resultado e aprende duas técnicas.
  1. Calcular a integral indefinida de \sqrt{1+2t}. Faça a substituição
u=1+2t \quad\Rightarrow\quad du=2\,dt \quad\Rightarrow\quad dt=\frac{du}{2}.
A integral fica
\int \sqrt{1+2t}\,dt = \int \sqrt{u}\cdot\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int u^{1/2}\,du.
  1. Integrando u^{1/2}:
\frac{1}{2}\int u^{1/2}\,du = \frac{1}{2}\cdot\frac{u^{3/2}}{3/2} = \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}u^{3/2} = \frac{1}{3}u^{3/2}.
Voltando a t,
\int \sqrt{1+2t}\,dt = \frac{1}{3}(1+2t)^{3/2} + C.
  1. Agora avalie a integral definida de 0 a x:
\int_{0}^{x} \sqrt{1+2t}\,dt = \left[\frac{1}{3}(1+2t)^{3/2}\right]_{t=0}^{t=x} = \frac{1}{3}(1+2x)^{3/2} - \frac{1}{3}(1)^{3/2}.
Ou seja,
F(x)=\frac{1}{3}\bigl((1+2x)^{3/2}-1\bigr).
  1. Derive F(x) usando regra da cadeia e a regra do poder. Primeiro, a derivada de (1+2x)^{3/2} é
\frac{d}{dx}(1+2x)^{3/2} = \frac{3}{2}(1+2x)^{1/2}\cdot \frac{d}{dx}(1+2x).
Como \dfrac{d}{dx}(1+2x)=2, obtemos
\frac{d}{dx}(1+2x)^{3/2} = \frac{3}{2}(1+2x)^{1/2}\cdot 2 = 3(1+2x)^{1/2}.
Agora multiplicando pelo coeficiente \tfrac{1}{3} em F(x),
F'(x)=\frac{1}{3}\cdot 3(1+2x)^{1/2} - 0 = (1+2x)^{1/2} = \sqrt{1+2x}.
Pronto — confirmamos que o resultado coincide com o obtido pelo Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 5

Recapitulando de forma motivadora: quando tiver uma integral com limite superior igual a x, você pode quase sempre usar o Teorema Fundamental do Cálculo e já escrever a derivada avaliando o integrando em x. Se o limite superior for uma função, lembre de multiplicar pela derivada dessa função (regra da cadeia). Se preferir ou precisar, dá para calcular a antiderivada explicitamente e então derivar — como mostramos, os dois caminhos dão o mesmo resultado.

Resposta

\sqrt{1+2x}

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