Use o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular as seguintes integrais ou explique porque elas não existem:
Passo 1
O enunciado pede para calcular ou justificar a não existência da integral
Informações dadas: o integrando é a função
e o intervalo de integração é
. A tarefa é aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo ou explicar por que a integral não existe.
Passo 2
Verificação da existência da integral (condição para usar o Teorema Fundamental do Cálculo). Uma hipótese suficiente para aplicar o teorema é que a função seja contínua em
. A função
é bem definida e contínua para todo
(podemos escrever
para
), logo é contínua em
. Portanto a integral existe e podemos usar o Teorema Fundamental do Cálculo (parte 2): se
é contínua em
e
é qualquer antiderivada de
, então
Passo 3
Construção da antiderivada (regra da potência). A regra geral para potências diz que, para qualquer
com
,
Explicando devagar: a derivada de
é
para qualquer expoente real
. Se escolhemos
, então a derivada de
é
. Dividindo por
obtemos exatamente
. Então uma primitiva de
é
para
.
Passo 4
Aplicando a regra da potência ao nosso caso: aqui
. Calculamos
Portanto uma antiderivada de
é
Expliquei: dividir por
é multiplicar por
.
Passo 5
Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo (avaliando
nos limites):
Calculamos cada termo:
Logo
Passo 6
Observações finais e alternativa de escrita: a integral existe porque o integrando é contínuo em
. A resposta pode ficar também escrita como
ou, se preferir manipular potências de
, como
, já que
.