Use o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular as seguintes integrais ou explique porque elas não existem:
\int_{1}^{4} x^{6 / 7} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular ou justificar a não existência da integral
\int_{1}^{4} x^{6/7}\,dx.
Informações dadas: o integrando é a função x^{6/7} e o intervalo de integração é [1,4]. A tarefa é aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo ou explicar por que a integral não existe.

Passo 2

Verificação da existência da integral (condição para usar o Teorema Fundamental do Cálculo). Uma hipótese suficiente para aplicar o teorema é que a função seja contínua em [1,4]. A função x^{6/7} é bem definida e contínua para todo x>0 (podemos escrever x^{6/7}=\exp\big((6/7)\ln x\big) para x>0), logo é contínua em [1,4]. Portanto a integral existe e podemos usar o Teorema Fundamental do Cálculo (parte 2): se f é contínua em [a,b] e F é qualquer antiderivada de f, então
\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a).

Passo 3

Construção da antiderivada (regra da potência). A regra geral para potências diz que, para qualquer p\in\mathbb{R} com p\neq -1,
\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{p+1}}{p+1}\right)=x^p.
Explicando devagar: a derivada de x^{r} é r x^{r-1} para qualquer expoente real r. Se escolhemos r=p+1, então a derivada de x^{p+1} é (p+1)x^{p}. Dividindo por p+1 obtemos exatamente x^{p}. Então uma primitiva de x^p é
F(x)=\frac{x^{p+1}}{p+1}+C,
para p\neq-1.

Passo 4

Aplicando a regra da potência ao nosso caso: aqui p=\tfrac{6}{7}. Calculamos
p+1=\frac{6}{7}+1=\frac{6}{7}+\frac{7}{7}=\frac{13}{7}.
Portanto uma antiderivada de x^{6/7} é
F(x)=\frac{x^{13/7}}{13/7} = \frac{7}{13}\,x^{13/7}.
Expliquei: dividir por \tfrac{13}{7} é multiplicar por \tfrac{7}{13}.

Passo 5

Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo (avaliando F nos limites):
\int_{1}^{4} x^{6/7}\,dx = F(4)-F(1).
Calculamos cada termo:
F(4)=\frac{7}{13}\,4^{13/7},\qquad F(1)=\frac{7}{13}\,1^{13/7}=\frac{7}{13}\cdot 1=\frac{7}{13}.
Logo
\int_{1}^{4} x^{6/7}\,dx = \frac{7}{13}\left(4^{13/7}-1\right).

Passo 6

Observações finais e alternativa de escrita: a integral existe porque o integrando é contínuo em [1,4]. A resposta pode ficar também escrita como \dfrac{7}{13}\big(4^{13/7}-1\big) ou, se preferir manipular potências de 2, como \dfrac{7}{13}\big(2^{26/7}-1\big), já que 4=2^2.

Resposta

\frac{7}{13}\left(4^{13/7}-1\right)

Exercícios relacionados