Em cada uns dos problemas, verificar se a função é par ou ímpar ou nenhuma das duas.
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Passo 1
O enunciado pede para a gente analisar a paridade da família de funções
fₙ(x)=e{x{(2n+1)}}, com n=0,1,2,…
O conteúdo que vamos usar é a definição de função par e função ímpar:
– f é par se f(–x)=f(x).
– f é ímpar se f(–x)=–f(x).
fₙ(x)=e{x{(2n+1)}}, com n=0,1,2,…
O conteúdo que vamos usar é a definição de função par e função ímpar:
– f é par se f(–x)=f(x).
– f é ímpar se f(–x)=–f(x).
Passo 2
Vamos calcular o valor de fₙ em –x. Como o expoente é ímpar, temos:
Logo, substituindo na função:
Passo 3
Comparando fₙ(-x) com fₙ(x) e com –fₙ(x):
– fₙ(x)=e{x{2n+1}}, mas fₙ(-x)=e{-x{2n+1}}≠e{x{2n+1}} para x≠0, então não é par.
– –fₙ(x)=–e{x{2n+1}}, mas fₙ(-x)=e{-x{2n+1}}>0, então não é igual a –fₙ(x). Portanto não é ímpar.
– fₙ(x)=e{x{2n+1}}, mas fₙ(-x)=e{-x{2n+1}}≠e{x{2n+1}} para x≠0, então não é par.
– –fₙ(x)=–e{x{2n+1}}, mas fₙ(-x)=e{-x{2n+1}}>0, então não é igual a –fₙ(x). Portanto não é ímpar.
Passo 4
Concluímos que nenhuma das condições de paridade é satisfeita para n≥0, exceto trivialmente em x=0, mas a classificação é global.
Portanto, para todo n=0,1,2,… a função fₙ(x)=e{x{2n+1}} não é nem par nem ímpar.
Portanto, para todo n=0,1,2,… a função fₙ(x)=e{x{2n+1}} não é nem par nem ímpar.
Resposta
Para todo n≥0, a função e{x{2n+1}} não é nem par nem ímpar.