Use o Teorema Fundamental do Cálculo para justificar se as seguintes sentenças são verdadeiras (V) ou falsas (
).
c) Seja
uma função duas vezes derivável definida por
. Então,
.
c) Seja
Passo 1
Resumo do enunciado: temos a função
e queremos verificar se
. O conteúdo envolvido é o Teorema Fundamental do Cálculo e derivação de integrais.
Passo 2
O Teorema Fundamental do Cálculo, parte 1, afirma que se
então
e
. Logo
Passo 3
aplicando a parte 1 do teorema, obtemos
Passo 4
Para achar
, derivamos novamente:
Passo 5
Usando de novo o Teorema Fundamental do Cálculo, parte 1, a derivada de
é o integrando avaliado em
, ou seja
Passo 6
Como isso coincide exatamente com a afirmação do enunciado, concluímos que a sentença é verdadeira.
Resposta
V