Use o Teorema Fundamental do Cálculo para justificar se as seguintes sentenças são verdadeiras (V) ou falsas ( F ).
c) Seja f uma função duas vezes derivável definida por f(x)=integral0^x(integral0^t e^u^2 d u) d t. Então, f^prime prime(x)=e^x^2.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a função
f(x)=integral0^xgl(integral0^te^u^2,dugr)dt e queremos verificar se f''(x)=e^x^2. O conteúdo envolvido é o Teorema Fundamental do Cálculo e derivação de integrais.

Passo 2

O Teorema Fundamental do Cálculo, parte 1, afirma que se
F(x)=integrala^xG(t),dt,
então F'(x)=G(x). Aqui podemos identificar
G(t)=integral0^te^u^2,du
e f(x)=integral0^xG(t),dt. Logo

Passo 3

aplicando a parte 1 do teorema, obtemos
f'(x)=G(x)=integral0^xe^u^2,du

Passo 4

Para achar f''(x), derivamos novamente:
f''(x)=ddxgl(integral0^xe^u^2,dugr)

Passo 5

Usando de novo o Teorema Fundamental do Cálculo, parte 1, a derivada de integral0^xe^u^2,du é o integrando avaliado em x, ou seja
f''(x)=e^x^2

Passo 6

Como isso coincide exatamente com a afirmação do enunciado, concluímos que a sentença é verdadeira.

Resposta

V

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