Esboce o gráfico das funções abaixo determinando seu domínio e (quando possível) sua imagem. Feito isso, diga se são limitadas (superiormente ou inferiormente) e se possuem máximos ou mínimos (globais).
f(x)=|ln (|x|)|

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico de f(x)=|ln(|x|)|, determinar seu domínio, imagem (quando possível), dizer se é limitada e se possui máximos ou mínimos globais. O conteúdo envolve logaritmo e valor absoluto.

Passo 2

Para achar o domínio, note que dentro de ln só podemos ter argumento positivo, e temos ln(|x|). Logo é preciso |x|>0, isto é, x≠0. Assim o domínio é (-∞,0) ∪ (0,∞).

Passo 3

Definimos g(x)=ln(|x|). Sabemos que g(x)→–∞ quando |x|→0⁺ (logo x→0 de qualquer lado) e g(x)→+∞ quando |x|→∞. O gráfico de g é simétrico, com assíntota vertical x=0 e cresce sem limite para ±∞.

Passo 4

Como f(x)=|g(x)|, dividimos em dois ramos: quando g(x)≥0 (isto é, |x|≥1), f(x)=g(x)=ln(|x|); quando g(x)<0 (isto é, |x|<1), f(x)=-g(x)=-ln(|x|)=ln(1/|x|). Logo
f(x)= ln(|x|), & |x|>=1, -ln(|x|)=lnl(1/|x|r), & 0<|x|<1

Passo 5

Analisando os extremos: quando |x|→0, f(x)=ln(1/|x|)→+∞; quando |x|→∞, f(x)=ln(|x|)→+∞. Em |x|=1 temos ln(1)=0, logo f(±1)=0 e esse é o valor mínimo global.

Passo 6

Concluímos que a imagem é [0,∞), a função é limitada inferiormente (por 0) mas não superiormente, não há máximo global e há mínimo global em x=±1 com f(±1)=0.

Resposta

Domínio: (-∞,0) ∪ (0,∞)
Imagem: [0,∞)
A função é limitada inferiormente, não é limitada superiormente.
Não há máximo global.
Há mínimo global em x=±1, com valor f(±1)=0.

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