Use o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a integral dada.
integral0^1(x^e+e^x) d x

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral integral0^1l(x^e+e^xr),dx. O conteúdo principal é o Teorema Fundamental do Cálculo, que diz que para uma função contínua f e sua antiderivada F temos integrala^bf(x),dx = F(b)-F(a). Aqui vamos precisar das antiderivadas de x^e e de e^x.

Passo 2

Para achar integral x^e,dx, usamos a regra de potência generalizada: integral x^n,dx = dfracx^n+1n+1 para nneq -1. Substituindo n=e obtemos a antiderivada
F1(x)=integral x^e,dx = x^e+1e+1

Passo 3

Para integral e^x,dx, lembramos que a derivada de e^x é ela mesma. Logo, a antiderivada é
F2(x)=integral e^x,dx = e^x

Passo 4

Somando as duas partes, uma antiderivada conjunta é
F(x)=x^e+1e+1 + e^x

Passo 5

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a integral definida vale
integral0^1l(x^e+e^xr),dx = F(1)-F(0)

Passo 6

Agora avaliamos:
F(1)=1^e+1e+1+e^1=1e+1+e,
F(0)=0^e+1e+1+e^0=0+1=1

Passo 7

Subtraindo,
integral0^1(x^e+e^x),dx = l(1e+1+er) - 1 = 1e+1 + e - 1

Resposta

1e+1 + e - 1

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