Use o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a Integral Definida
\int_{0}^{1} \frac{z}{\left(z^{2}+1\right)^{3}} d z

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{0}^{1} \frac{z}{\left(z^{2}+1\right)^{3}}\,dz.
Informações dadas:
  • O integrando é \dfrac{z}{\left(z^{2}+1\right)^{3}}.
  • Os limites de integração são z=0 e z=1.
    A tarefa é encontrar o valor numérico dessa integral usando o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Observação útil (motivação da técnica): a derivada de \left(z^{2}+1\right) é 2z, que é proporcional ao numerador z. Isso sugere usar a substituição
u = z^{2}+1.
Agora calculemos du em função de dz:
du = 2z\,dz \quad\Rightarrow\quad z\,dz = \frac{1}{2}\,du.
Também transformamos os limites da integral em termos de u:
\text{quando } z=0,\; u=0^{2}+1=1;\qquad \text{quando } z=1,\; u=1^{2}+1=2.

Passo 3

Reescrevendo a integral em u:
\int_{0}^{1} \frac{z}{\left(z^{2}+1\right)^{3}}\,dz = \int_{u=1}^{u=2} \frac{1}{u^{3}}\left(\frac{1}{2}\,du\right) = \frac{1}{2}\int_{1}^{2} u^{-3}\,du.
Agora aplicamos a regra de potência para integrais: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}.
Aqui n=-3, logo
\int u^{-3}\,du = \frac{u^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2}u^{-2}.
Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{2} que estava fora, obtemos o antiderivado da integral em u:
F(u) = \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}u^{-2}\right) = -\frac{1}{4}u^{-2} = -\frac{1}{4}\frac{1}{u^{2}}.

Passo 4

Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: a integral definida é F(2)-F(1), com F(u)=-\dfrac{1}{4}u^{-2}. Calculando:
F(2) = -\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{2^{2}} = -\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{4} = -\frac{1}{16},
F(1) = -\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{1^{2}} = -\frac{1}{4}.
Portanto
\int_{0}^{1} \frac{z}{\left(z^{2}+1\right)^{3}}\,dz = F(2)-F(1) = -\frac{1}{16} - \left(-\frac{1}{4}\right) = -\frac{1}{16} + \frac{1}{4}.

Passo 5

Fazendo a subtração final com frações:
\frac{1}{4} = \frac{4}{16},\quad \text{então}\quad -\frac{1}{16} + \frac{4}{16} = \frac{3}{16}.ã
Logo o valor da integral é \dfrac{3}{16}.

Resposta

\dfrac{3}{16}

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