Use o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a Integral Definida
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral definida
Informações dadas:
- O integrando é
. - Os limites de integração são
e .
A tarefa é encontrar o valor numérico dessa integral usando o Teorema Fundamental do Cálculo.
Passo 2
Observação útil (motivação da técnica): a derivada de
é
, que é proporcional ao numerador
. Isso sugere usar a substituição
Agora calculemos
em função de
:
Também transformamos os limites da integral em termos de
:
Passo 3
Reescrevendo a integral em
:
Agora aplicamos a regra de potência para integrais: para
,
Aqui
, logo
Multiplicando pelo fator
que estava fora, obtemos o antiderivado da integral em
:
Passo 4
Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: a integral definida é
, com
. Calculando:
Portanto
Passo 5
Fazendo a subtração final com frações:
Logo o valor da integral é
.