Use o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a Integral Definida
\int_{1}^{2} t^{2} \sqrt{t^{3}+1} d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{2} t^{2} \sqrt{t^{3}+1}\,dt.
Informações dadas:
  • O integrando é t^{2}\sqrt{t^{3}+1}.
  • Os limites de integração são t=1 (inferior) e t=2 (superior).
O objetivo final é obter um número (a área algébrica) usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Antes de aplicar o teorema precisamos encontrar uma primitiva (uma antiderivada) do integrando ou transformar a integral numa forma mais simples por substituição.

Passo 2

Estratégia escolhida (motivação didática): observar que dentro da raiz aparece t^{3}+1 e fora aparece um fator t^{2}\,dt. Isso sugere a substituição
u = t^{3}+1,
porque a derivada de t^{3}+1 é 3t^{2}, ou seja, du = 3t^{2}\,dt. Essa substituição simplifica a integral porque transforma a parte complicada \sqrt{t^{3}+1} em \sqrt{u} e o t^{2}\,dt vira uma constante multiplicativa em du. Vou explicar em detalhe o porquê disso:
  • A regra da cadeia em diferenciação diz que se u = g(t) e F(u) é primitiva de f(u) então a derivada de F(g(t)) é F'(g(t))\cdot g'(t). Na integração, fazemos o processo inverso: quando vemos algo como f(g(t))g'(t)\,dt podemos substituir u=g(t) e obter f(u)\,du. Aqui temos exatamente esse padrão com g(t)=t^3+1 e g'(t)=3t^2.

Passo 3

Efetuando a substituição. Definimos
u = t^{3}+1.
Diferenciando ambos os lados:
du = 3t^{2}\,dt \quad\Rightarrow\quad t^{2}\,dt = \frac{1}{3}\,du.
Agora também trocamos os limites de integração para u:
  • Quando t=1: u = 1^{3}+1 = 2.
  • Quando t=2: u = 2^{3}+1 = 9.
Portanto a integral em t transforma-se em uma integral em u:
\int_{1}^{2} t^{2}\sqrt{t^{3}+1}\,dt = \int_{u=2}^{u=9} \sqrt{u}\cdot\frac{1}{3}\,du.

Passo 4

Simplificar o integrando em u. Escrevendo \sqrt{u} como potência:
\sqrt{u} = u^{1/2}.
Assim
\int_{2}^{9} \frac{1}{3} u^{1/2}\,du = \frac{1}{3}\int_{2}^{9} u^{1/2}\,du.
Agora usamos a regra de potência para antiderivadas: se p\neq -1 então
\int u^{p}\,du = \frac{u^{p+1}}{p+1} + C.
Aqui p=\tfrac{1}{2}, logo p+1=\tfrac{3}{2}.

Passo 5

Encontrando a primitiva e aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo. Uma primitiva de u^{1/2} é \dfrac{u^{3/2}}{3/2}=\dfrac{2}{3}u^{3/2}. Multiplicando pelo fator \dfrac{1}{3} obtemos a primitiva da função original em u:
\frac{1}{3}\cdot\frac{2}{3}u^{3/2}=\frac{2}{9}u^{3/2}.
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a integral definida é essa primitiva avaliada entre u=2 e u=9:
\int_{2}^{9} \frac{1}{3}u^{1/2}\,du = \left.\frac{2}{9}u^{3/2}\right|_{2}^{9} = \frac{2}{9}\bigl(9^{3/2}-2^{3/2}\bigr).

Passo 6

Calcular os termos numéricos e simplificar. Avaliando as potências:
9^{3/2} = (\sqrt{9})^{3} = 3^{3} = 27,
2^{3/2} = (\sqrt{2})^{3} = 2\sqrt{2}.
Substituindo:
\frac{2}{9}\bigl(27-2\sqrt{2}\bigr) = \frac{2\cdot 27}{9} - \frac{2\cdot 2\sqrt{2}}{9} = 6 - \frac{4\sqrt{2}}{9}.

Resposta

6 - \dfrac{4\sqrt{2}}{9}

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