Use o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a Integral Definida
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- O integrando é
. - Os limites de integração são
(inferior) e (superior).
O objetivo final é obter um número (a área algébrica) usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Antes de aplicar o teorema precisamos encontrar uma primitiva (uma antiderivada) do integrando ou transformar a integral numa forma mais simples por substituição.
Passo 2
Estratégia escolhida (motivação didática): observar que dentro da raiz aparece
e fora aparece um fator
. Isso sugere a substituição
porque a derivada de
é
, ou seja,
. Essa substituição simplifica a integral porque transforma a parte complicada
em
e o
vira uma constante multiplicativa em
. Vou explicar em detalhe o porquê disso:
- A regra da cadeia em diferenciação diz que se
e é primitiva de então a derivada de é . Na integração, fazemos o processo inverso: quando vemos algo como podemos substituir e obter . Aqui temos exatamente esse padrão com e .
Passo 3
Efetuando a substituição. Definimos
Diferenciando ambos os lados:
Agora também trocamos os limites de integração para
:
- Quando
: . - Quando
: .
Portanto a integral em
transforma-se em uma integral em
:
Passo 4
Simplificar o integrando em
. Escrevendo
como potência:
Assim
Agora usamos a regra de potência para antiderivadas: se
então
Aqui
, logo
.
Passo 5
Encontrando a primitiva e aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo. Uma primitiva de
é
. Multiplicando pelo fator
obtemos a primitiva da função original em
:
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a integral definida é essa primitiva avaliada entre
e
:
Passo 6
Calcular os termos numéricos e simplificar. Avaliando as potências:
Substituindo: