Calcule as integrais indefinidas abaixo:
(17) integral 24 x^2+1 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral 24x^2+1,dx. Aqui vamos usar a fórmula básica de integrais do tipo integral 1a^2+x^2,dx = 1aarctanl(tfracxar)+C.

Passo 2

Primeiro, fatoramos a constante 2 para fora da integral:
integral 24x^2+1,dx = 2integral 14x^2+1,dx
Agora notamos que 4x^2+1=(2x)^2+1, ou seja, está na forma u^2+1 com u=2x.

Passo 3

Fazemos a substituição u=2x, então du=2,dx e dx=tfracdu2. Substituindo na integral:
integral 14x^2+1,dx = integral 1u^2+1cdotdu2 = 12integral duu^2+1 = 12arctan(u)+C = 12arctan(2x)+C

Passo 4

Voltando à integral original, multiplicamos pelo 2 que tiramos lá no início:
2cdot12arctan(2x)+C = arctan(2x)+C

Resposta

arctan(2x)+C

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