Use o Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada das funções dadas a seguir.
Passo 1
O enunciado pede para usar o Teorema Fundamental do Cálculo para derivar a função
F(x)=∫_{sen(x)}^{cos(x)} t/(t²+1) dt. O conteúdo envolve integrais definidas com limites variáveis e vamos precisar do Teorema Fundamental do Cálculo parte 2 junto com a Regra da Cadeia.
F(x)=∫_{sen(x)}^{cos(x)} t/(t²+1) dt. O conteúdo envolve integrais definidas com limites variáveis e vamos precisar do Teorema Fundamental do Cálculo parte 2 junto com a Regra da Cadeia.
Passo 2
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo com limites que dependem de x, se F(x)=∫_{a(x)}^{b(x)} f(t) dt então
F’(x)=f(b(x))·b’(x)−f(a(x))·a’(x).
Aqui temos f(t)=t/(t²+1), b(x)=cos(x) e a(x)=sen(x).
Passo 3
Calculando as derivadas dos limites: b’(x)=−sen(x) e a’(x)=cos(x). Substituindo em F’(x):
F’(x)=f(cos(x))·(−sen(x))−f(sen(x))·cos(x)
F’(x)=−sen(x)·\frac{cos(x)}{cos²(x)+1}−cos(x)·\frac{sen(x)}{sen²(x)+1}
Resposta
F’(x)=−\dfrac{sen(x)·cos(x)}{cos²(x)+1}−\dfrac{sen(x)·cos(x)}{sen²(x)+1}